Signum (wiskunde)

Het signum, als functie vaak aangeduid als sgn, is een eenvoudige wiskundige functie die, zoals de naam min of meer zegt^[1], het teken van het argument aangeeft. Een negatief getal heeft het teken ${\displaystyle -1}$, het getal ${\displaystyle 0}$ het teken ${\displaystyle 0}$ en een positief getal heeft het teken ${\displaystyle +1}$:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{als }}x<0\\\ \ \;0&{\mbox{als }}x=0\\\ \ \;1&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}$

Het gebruik van de functie signum maakt het in sommige gevallen mogelijk één uitdrukking te hanteren in plaats van de diverse gevallen te onderscheiden. In plaats van te schrijven:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{\text{–}}(x)&{\mbox{als }}x<0\\f_{\text{0}}(x)&{\mbox{als }}x=0\\f_{\text{+}}(x)&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}$

kan volstaan worden met de uitdrukking:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(1-\operatorname {sgn}(x))|\operatorname {sgn}(x)|f_{\text{–}}(x)+}$

${\displaystyle +(1-|\operatorname {sgn}(x)|)f_{\text{0}}(x)+}$

${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn}(x))|\operatorname {sgn}(x)|f_{\text{+}}(x)}$

Elk reëel getal kan worden uitgedrukt als het product van de absolute waarde en de signumfunctie ervan:

${\displaystyle x=|x|\cdot \operatorname {sgn}(x)}$

Voor ${\displaystyle x\neq 0}$ geldt:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}$

en dan dus ook:

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}}$

Voor ${\displaystyle x\neq 0}$ is de signumfunctie de afgeleide van de absolutewaardefunctie.

Voor alle reële waarden van ${\displaystyle x\neq 0}$ is de signumfunctie differentieerbaar, met afgeleide 0.

Een voorbeeld van het gebruik van het signum is de volgende functie (de grafiek ervan staat in de hiernaast staande figuur):

${\displaystyle f(x)=h_{1}(x)\cdot h_{2}(x)-2\operatorname {sgn}(x)-2}$

met:

${\displaystyle h_{1}(x)=(-\operatorname {sgn}(x)+x-1)^{0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5}}$

${\displaystyle h_{2}(x)=2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)}$

Subsitutie van ${\displaystyle x=0}$ in de functie ${\displaystyle h_{1}}$ geeft:

${\displaystyle h_{1}(0)=(-\operatorname {sgn}(0)+0-1)^{{\frac {1}{2}}\operatorname {sgn}(0)+{\frac {3}{2}}}=(-1)^{\frac {3}{2}}}$

Deze laatste uitdrukking heeft geen reële waarde. De functie ${\displaystyle f}$ bestaat daarmee niet voor ${\displaystyle x=0}$.

Deze functie kan ook beschreven worden met het voorschrift:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\mbox{als }}x<0\\(x-2)^{2}-4&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}$

Hierna volgt de afleiding daarvan.

Allereerst is:

• ${\displaystyle -\operatorname {sgn}(x)+x-1=x-0\quad }$ voor ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle -\operatorname {sgn}(x)+x-1=x-2\quad }$ voor ${\displaystyle x>0}$

• ${\displaystyle 0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5=1\quad }$ voor ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle 0{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)+1{,}5=2\quad }$ voor ${\displaystyle x>0}$

• ${\displaystyle 2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)=4\quad }$ voor ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle 2{,}5-1{,}5\cdot \operatorname {sgn}(x)=1\quad }$ voor ${\displaystyle x>0}$

• ${\displaystyle 2\cdot \operatorname {sgn}(x)=-2\quad }$ voor ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle 2\cdot \operatorname {sgn}(x)=2\quad }$ voor ${\displaystyle x>0}$

Het functievoorschrift kan hiermee nu worden geïnterpreteerd als:

• ${\displaystyle f(x)=(x-{\mbox{(0 of 2)}})^{\mbox{(1 of 2)}}\cdot ({\mbox{4 of 1}})-{\mbox{(−2 of 2)}}-2}$

Als ${\displaystyle x}$ negatief is, geldt:

${\displaystyle f(x)=(x-0)^{1}\cdot 4+2-2=x\cdot 4}$

Is ${\displaystyle x}$ positief, dan is:

${\displaystyle f(x)=(x-2)^{2}\cdot 1-2-2=(x-2)^{2}-4}$

Dus is het voorschrift van ${\displaystyle f}$ inderdaad te schrijven als:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\mbox{als }}x<0\\(x-2)^{2}-4&{\mbox{als }}x>0\end{cases}}}$

Verder is, en zie ook de grafiek van ${\displaystyle f}$ hierboven:

${\displaystyle \lim _{x\uparrow 0}f(x)=(1+0-1)^{1}\cdot (2{,}5+1{,}5)+2-2=0}$

${\displaystyle \lim _{x\downarrow 0}f(x)=(-1+0-1)^{2}\cdot (2{,}5-1{,}5)-2-2=0}$

Daarmee kan dan de functie ${\displaystyle f}$ voor ${\displaystyle x=0}$ continu gemaakt worden door te definiëren:

${\displaystyle f(0)=0}$

De continumakende waarde voor ${\displaystyle x=0}$ is dus gelijk aan ${\displaystyle 0}$. Hier is er dus sprake van ophefbare discontinuïteit.

Een lid van de familie krommen van Lamé (de zogenoemde superellipsen) wordt in een cartesisch coördinatenstelsel gedefinieerd door:

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{k}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{k}=1\quad }$ met ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}}$ en ${\displaystyle a,b>0}$

Deze kromme is, evenals een ellips die met ${\displaystyle k=2}$ ook tot die familie behoort, symmetrisch in de x- en de y-as. Met ${\displaystyle a=3,b=2}$ is de lengte van de grote as gelijk aan 6; die van de kleine as is 4. Wordt deze vergelijking geschreven als:

${\displaystyle \left(\left|{\frac {x}{3}}\right|^{\frac {1}{4}}\right)^{\!2}+\left(\left|{\frac {y}{2}}\right|^{\frac {1}{4}}\right)^{\!2}=1}$

dan ligt het, ten behoeve van een parametervergelijking met de parameter ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$, voor de hand te stellen:

${\displaystyle {\begin{cases}\left|{\frac {x}{3}}\right|^{\frac {1}{4}}=\cos(t)\\\left|{\frac {y}{2}}\right|^{\frac {1}{4}}=\sin(t)\end{cases}}\quad }$ of ${\displaystyle \quad {\begin{cases}\left|x\right|=3\cos ^{4}(t)\\\left|y\right|=2\sin ^{4}(t)\end{cases}}}$

Met de signumfunctie zijn beide laatste relaties dan te schrijven als:

${\displaystyle {\begin{cases}x=3\cos ^{4}(t)\cdot \operatorname {sgn}(\cos(t))\\y=2\sin ^{4}(t)\cdot \operatorname {sgn}(\sin(t))\end{cases}}}$