Een pseudosfeer is een ruimtelijk oppervlak met een constante negatieve Gaussiaanse kromming. Het is in zekere zin de tegenhanger van een boloppervlak of sfeer dat ook een constante kromming heeft, maar dan een positieve. De benaming 'pseudosfeer' werd bedacht door de Italiaanse wiskundige Eugenio Beltrami (1835-1900) in het kader van zijn onderzoek in het gebied van de niet-Euclidische meetkunde. De figuur zelf was al eerder bekend. De benaming pseudosfeer is wat misleidend want qua vorm gelijkt de pseudosfeer helemaal niet op een sfeer. De verwantschap is te vinden in bepaalde eigenschappen: de oppervlakte, het volume en de Gaussiaanse kromming (zie verder).
Meetkundige definitie en parametervergelijking
Het centrale deel van een pseudosfeer. In realiteit strekt de pseudosfeer zich langs beide kanten uit tot oneindig.
De pseudosfeer ontstaat wanneer een tractrix rond zijn asymptoot gewenteld wordt. Een mogelijke parametervergelijking van de halve tractrix die de positieve X-as als asymptoot heeft is:
waarbij
en waarbij en hyperbolische functies zijn. Door door middel van een cirkelbeweging te laten wentelen rond de X-as wordt een parametervergelijking van de pseudosfeer bekomen. Daarbij kan men de parameter van min tot plus oneindig laten open. De functie is oneven en dus symmetrisch tegenover de oorsprong (0,0). Doordat er een volledige wenteling rond de X-as uitgevoerd wordt is de figuur even in de X-richting en dus symmetrisch tegenover het YZ-vlak. Een mogelijke parametervergelijking van een pseudosfeer is dus:
waarbij en
De parameter wordt de straal van de pseudosfeer genoemd. Het is de straal van de cirkel die ontstaat wanneer de parameter nul gekozen wordt. Deze cirkel bevindt zich in het YZ-vlak daar waar de diameter van de pseudosfeer maximaal is. De bijgaande figuur toont het centrale deel van een pseudosfeer berekend met voor . In werkelijkheid strekt de figuur zich langs beide kanten van de x-as uit tot op oneindig.
Eigenschappen
Totale oppervlakte
De totale oppervlakte van een pseudosfeer met straal is gelijk aan , hetzelfde als voor een boloppervlak met straal . Deze oppervlakte wordt berekend door middel van de omwentelingsintegraal voor een omwentelingsoppervlak rond de X-as:
waarbij
Dit zijn dus de vergelijkingen van de tractrix, niet van de pseudosfeer, want de pseudosfeer ontstaat door wenteling van de tractrix.
De integraal zelf berekent de oppervlakte van de halve pseudosfeer langsheen de positieve X-as. De factor die buiten de integraal staat brengt het deel langsheen de negatieve X-as in rekening.
Totaal volume
Het totale volume van een pseudosfeer met straal is gelijk aan , de helft van bij een boloppervlak met straal . Dit volume wordt berekend door middel van de omwentelingsintegraal voor een omwentelingsvolume rond de X-as:
waarbij
Dit zijn dus de vergelijkingen van de tractrix, niet van de pseudosfeer, want de pseudosfeer ontstaat door wenteling van de tractrix.
De integraal zelf berekent het volume van de halve pseudosfeer langsheen de positieve X-as. De factor die buiten de integraal staat brengt het deel langsheen de negatieve X-as in rekening.
Kromming
De Gaussiaanse kromming is in elk punt van de pseudosfeer gelijk aan
Bij een boloppervlak is de kromming ook constant, maar dan gelijk aan
Berekening van de Gaussiaanse kromming
Voor een oppervlak met parametervergelijking
kan de Gaussiaanse kromming als volgt berekend worden:
en vervolgens:
Dit is een eenheidsvector die loodrecht in een punt op het oppervlak staat. Indien dan
Dan is de Gaussiaanse kromming gelijk aan
Concreet wordt dit voor de gegeven parametervergelijking van de pseudosfeer:
Met deze laatste twee:
De lengte van een vector is wortel van het scalair product met zichzelf:
zodat:
met als afgeleide vectoren:
De laatste stappen van de berekening kunnen gevoelig vereenvoudigd worden. De Gaussiaanse kromming van de pseudosfeer kan niet afhangen van de parameter want de figuur heeft een cirkelsymmetrie en het is juist de parameter die deze symmetrie vertolkt. Dit betekent dat, eens alle benodigde afgeleiden berekend zijn, men een willekeurige waarde van kan kiezen en deze kan invullen. De meest voor de hand liggende waarde is zodat en kunnen vervangen door 1 en 0 respectievelijk:
en:
Door deze in te vullen in de uitdrukking voor de Gaussiaanse kromming bekomt men:
Zie ook
Hoorn van Gabriël: een oppervlak met een bijna identieke vorm, dat eveneens een eindig volume heeft maar een oneindige oppervlakte.
Referentie
Formules gebruikt voor de berekening van de Gaussiaanse kromming: https://u.math.biu.ac.il/~katzmik/goldman05.pdf