In de vlakke meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, beschrijft poolverwantschap ten opzichte van een kegelsnede een wederkerige relatie tussen punten, de polen, en lijnen, de poollijnen. Die relatie is invariant voor elke projectieve transformatie van het vlak.
Pool en poollijn
is poollijn van , van en van
Bij een gegeven een punt en een gegeven kegelsnede wordt de lijnenbundel door bekeken, en meer specifiek de lijnen uit die lijnenbundel die snijden. Op deze lijnen wordt de harmonische verwante van gekozen bij de snijpunten met . Deze harmonische verwanten zijn collineair; de dragende lijn heet de poollijn van . Andersom heet het punt de pool van . Deze definitie blijft geldig als de kegelsnede ontaard is in snijdende of evenwijdige rechten. Elke rechte kan beschouwd worden als poollijn van een dubbelpunt van een ontaarde kegelsnede.
Eigenschappen
is poollijn van , en van
De poollijn van een punt dat gelegen is op een lijn l, gaat door de pool van l.
De pool van een lijn l die gaat door een punt , ligt op de poollijn van .
Als op de poollijn van ligt, dan ligt op de poollijn van .
Ligt het punt op de kegelsnede , dan is de poollijn van de raaklijn in aan .
Zijn uit een punt twee raaklijnen mogelijk aan een kegelsnede, dan is de poollijn van de drager van de raakkoorde (het lijnstuk dat beide raakpunten verbindt).
Als een punt op zijn eigen poollijn ligt, dan ligt op de kegelsnede.
Als niet het dubbelpunt is van een ontaarde kegelsnede , dan gaat de poollijn van door elk dubbelpunt van .
Iedere rechte heeft bij een niet-ontaarde kegelsnede juist één pool.
Als een cirkel is met middelpunt , dan is de poollijn van de lijn loodrecht op MP door het inverse punt van het punt .
Pooldriehoek
De diagonaaldriehoek PQR van de volledige vierhoek ABCD is een pooldriehoek van de ellips.
Een driehoek waarvan elke zijde de poollijn is van het overstaande hoekpunt ten opzichte van een kegelsnede , heet een pooldriehoek van en de kegelsnede een poolkegelsnede van de driehoek (zie de figuur rechts).
Is een volledige vierhoek ingeschreven in een niet-ontaarde kegelsnede , dan is zijn diagonaaldriehoek een pooldriehoek van .
Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking
soort kegelsnede
vergelijking kegelsnede
vergelijking poollijn van
Cirkel
Ellips
Hyperbool
Parabool
Coördinaten van de pool van een lijn t.o.v een kegelsnede met een canonieke vergelijking
soort kegelsnede
vergelijking kegelsnede
Pool van de lijn
Cirkel
Ellips
Hyperbool
Parabool
Vergelijking van de poollijn van een punt t.o.v een kegelsnede met een algemene vergelijking
De poollijn van het punt ten opzichte van die kegelsnede is de rechte waarbij
Pool van een rechte t.o.v een niet ontaarde kegelsnede met een algemene vergelijking
De coördinaten van de pool van de rechte met vergelijking bij een niet-ontaarde kegelsnede met vergelijking
kunnen als volgt worden bepaald. De getallen worden berekend uit de volgende matrixvergelijking:
De pool is dan het punt met coördinaten
Vergelijking van een poollijn, afgeleid zonder harmonische verwanten
Poollijn van het punt bij een ellips
Gegeven is de ellips met vergelijking . Daarbij is het punt gelegen buiten de ellips.[1]
Is nu een raaklijn uit aan de ellips, waarbij het raakpunt is, dan is een vergelijking van die raaklijn:
Omdat het punt op deze lijn ligt, geldt de relatie:
Bij de andere raaklijn uit aan de ellips met als raakpunt geldt overeenkomstig:
Uit beide laatste relaties blijkt dat de coördinaten van de punten voldoen aan de vergelijking:
Aangezien dit een lineaire vergelijking is in en , is dit de vergelijking van de lijn door de punten : het is de vergelijking van de poollijn van bij de ellips. Het lijnstuk is de zogeheten raakkoorde bij . Dus:
Ligt buiten de ellips, dan is , of ook de vergelijking van de poollijn van bij de ellips.
Ligt op de ellips, dan is de vergelijking van de raaklijn in aan de ellips.
Ligt binnen de ellips, dan is – in dit geval per definitie – de lijn ook de poollijn van .
Bovenstaande redenering kan analoog worden toegepast voor het afleiden van de vergelijking van de poollijn van een punt bij een cirkel (vergelijking: ), parabool (vergelijking: ) en hyperbool (vergelijking: ).[2] Dit leidt dan tot de volgende vergelijkingen van de pool- c.q. raaklijnen:
Zie ook
Eerlijk delen, een techniek om de vergelijking van de raak- c.q. poollijn van een punt bij een kegelsnede te bepalen
Trilineaire poolverwantschap binnen de meetkunde van de driehoek