Paraboolconstante

De paraboolconstante is een wiskundige constante en kan met de getallen π en e worden vergeleken.

Het getal, dat verder met ${\displaystyle P}$ wordt aangeven, wordt voor een parabool gedefinieerd als de verhouding tussen de booglengte ${\displaystyle s}$ van het paraboolsegment dat wordt bepaald door het latus rectum en de parameter ${\displaystyle p}$. Deze parameter ${\displaystyle p}$ wordt de paraboolparameter genoemd en is gelijk aan de afstand van het brandpunt ${\displaystyle F}$ van de parabool tot de richtlijn. ${\displaystyle P}$ is voor alle parabolen hetzelfde, omdat alle parabolen gelijkvormig zijn.

${\displaystyle P={s \over p}}$

Het latus rectum, uit het Latijn: latus, zijde en rectum, rectus, recht of rechtop, is in het algemeen de koorde van een kegelsnede die in het brandpunt ervan loodrecht op de symmetrie-as staat door dat brandpunt.^[1][2]

${\displaystyle P\ =\ \ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\ \approx \ 2,29558714939}$

${\displaystyle P}$ is een transcendent getal.

Bewijs 

Het bewijs is een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat ${\displaystyle P=\surd 2+\ln(1+\surd 2)}$ een algebraïsch getal is. Dan is ook ${\displaystyle P'=P-\surd 2=\ln(1+\surd 2)}$ algebraïsch. Volgens de stelling van Lindemann-Weierstrass is dan ${\displaystyle {{e}^{P'}}=1+\surd 2}$ transcendent, maar dat is niet het geval. Dus is ${\displaystyle P}$ transcendent.

Wordt het deel van de grafiek van de functie ${\displaystyle y=f(x)={e^{x}}}$ dat links van de ${\displaystyle y}$-as ligt, om de ${\displaystyle x}$-as gewenteld, dan kan de oppervlakte ${\displaystyle M}$ van de mantel van het omwentelingslichaam worden uitgedrukt in ${\displaystyle P}$, zoals in de figuur is aangegeven. Bij benadering is voor het deel van de mantel tussen de punten ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle B}$ voor kleine ${\displaystyle \Delta x}$:

${\displaystyle \Delta M=2\pi \ \cdot \ f(x)\ \cdot \ {\text{booglengte}}(AB)}$

Zodat voor ${\displaystyle M}$ geldt:

${\displaystyle M=2\pi \int _{-\ \infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{(({{e}^{x}})')}^{2}}}}}\mathrm {d} x=2\pi \int _{-\,\infty }^{0}{{{e}^{x}}{\sqrt {1+{{e}^{2x}}}}\mathrm {d} x}}$

Met de substitutie ${\displaystyle {{e}^{x}}=t}$, waarbij ${\displaystyle {{e}^{x}}\mathrm {d} x=\mathrm {d} t}$, is dan:

${\displaystyle M=2\pi \int _{0}^{1}{{\sqrt {1+{{t}^{2}}\ }}\mathrm {d} t=2\pi \ \cdot \ {\tfrac {1}{2}}P=\pi P}}$