Krull-ring

In de commutatieve algebra en aanverwante deelgebieden van wiskunde is een krull-ring is een bepaald typecommutatieve ring. De rull-ring is genoemd naar de Duitse wiskundige Wolfgang Krull.

Laat ${\displaystyle A}$ een integriteitsdomein zijn en ${\displaystyle P}$ de verzameling van alle priemidealen van ${\displaystyle A}$ met hoogte gelijk aan een. Dan heet ${\displaystyle A}$ een krull-ring als

1. ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ een discrete valuatiering is voor alle ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$, en
2. elk niet-nulzijnd hoofdideaal de doorsnede is van een eindig aantal priemidealen met hoogte gelijk aan een.

1. Elk normaal noethers integriteitsdomein is een krull-ring.
2. Als ${\displaystyle A}$ een krull-ring is, zijn de veeltermring ${\displaystyle A[x]}$ en de ring der formele machtreeksen ${\displaystyle A[[x]]}$ dat ook.
3. Laat ${\displaystyle A}$ een noethers integriteitsdomein zijn met quotiëntenlichaam ${\displaystyle K}$ en laat ${\displaystyle L}$ een eindige algebraïsche uitbreiding van ${\displaystyle K}$ zijn. Dan is de gehele afsluiting van ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$ een krull-ring.

• (en) Hideyuki Matsumura, Commutative Algebra (Commutatieve algebra). Second Edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
• (en) Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory' (Commutatieve ringtheorie)'. Translated from the Japanese by M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1986. xiv+320 pp. ISBN 0-521-25916-9