De engel-expansie of engel-ontwikkeling van een positief reëel getal
is de niet-dalende rij positieve gehele getallen
waarvoor
![{\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ldots ={\frac {1}{a_{1}}}\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\ldots \right)\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a343ff10990d2100435f326a1b35ea2475093105)
en
![{\displaystyle 1\leq a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6a459dbd8723f1099f7adf34bd5a70b8d713bb)
De engel-ontwikkeling is genoemd naar de wiskundige Friedrich Engel, die ze in 1913 bestudeerde.[1]
Elk positief rationaal getal heeft een unieke eindige en een daarvan afgeleide unieke oneindige engel-ontwikkeling. Een positief irrationaal getal heeft een unieke oneindige engel-ontwikkeling. De eindige engel-ontwikkeling van een rationaal getal stelt dat getal voor als een Egyptische breuk.
Berekening
Het is alleen interessant de engel-expansie te berekenen voor getallen tussen 0 en 1, aangezien de expansie begint met een rij 1-en ter lengte van het gehele deel van het getal. Dat blijkt overigens ook uit het algoritme.
Voor
wordt
bepaald door de eis dat:
,
wat betekent dat:
![{\displaystyle a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{x}}\right\rceil }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f20040ec79070d71129a1bb603baba073833e58)
Het volgende getal
volgt analoog uit de eis:
![{\displaystyle {\frac {1}{a_{2}}}\leq a_{1}x-1<{\frac {1}{a_{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f6b67817be3421619d9064221d03e4633b4c217)
Dit gaat zo verder en leidt tot het volgende algoritme.
De engel-expansie van een gegeven getal
kan men als volgt berekenen:
- Neem
; - bereken iteratief voor
![{\displaystyle k=1,2,3,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3096b3b04efc86a739fdaff09486fd01a0914b5)
en ![{\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea693b92a4191fba9bbff3aabc92c9c48bdc088)
- Hierin is
de ceiling van
.
- Het algoritme eindgt als
gelijk wordt aan 0.
Berekeningsvoorbeeld
De engel-expansie van 1,3 geeft achtereenvolgens:
![{\displaystyle u_{1}=1{,}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce34389ab566d8a8128b15202d465f09774a3fd3)
![{\displaystyle a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}3}}\right\rceil =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f0adddba80475059aad54a10eafb55ff6fecc4)
![{\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}3\cdot 1-1=0{,}3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29f931e11f233a15ae83d2589fdf4c522285415)
![{\displaystyle a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}3}}\right\rceil =4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/461b37ef9af4549a6c1665d00b50536b59bd2340)
![{\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}3\cdot 4-1=0{,}2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b10aca8e52eac81e964fa52165fa5d8b9045d2)
![{\displaystyle a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}2}}\right\rceil =5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8847fb88de135228015c6d92652483dc49c8ebdd)
![{\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}2\cdot 5-1=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18827a5eb56b973e58460d67a84251db6fbe5a4)
Hier stopt het algoritme en de engel-expansie van 1,3 is {1, 4, 5}:
![{\displaystyle 1{,}3={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 4}}+{\frac {1}{1\cdot 4\cdot 5}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8b577d79f0a9e9507cdd9cadc15d089d4603e8)
Engel-ontwikkeling voor rationale getallen
Het algoritme voor de berekening van de engel-ontwikkeling getal bepaalt de volgende term
als volgt. Als
, dan is
. De teller In de resterende breuk wordt steeds kleiner en het algoritme stopt dus na een eindig aantal stappen.
Uit deze eindige ontwikkeling kan een oneindige afgeleid worden. Vanwege de relatie
![{\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f853813522bc4696c0ab344c65762d7dfe16bcdd)
kan het laatst bepaalde getal
in de ontwikkeling vervangen worden door een oneindige rij getallen
.
Zo is bijvoorbeeld
![{\displaystyle 1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f21cd42d184fe2b2699d7eeaf63f09b8dc43489)
Dit is te vergelijken met de voorstelling van een rationaal getal met eindig veel decimalen als het decimale getal met de laatste decimaal verminderd met 1 en gevolgd door oneindig veel cijfers 9.
Voorbeelden
De engel-expansies van enkele bekende constanten zijn:
- rij A006784 in OEIS
- rij A028254 in OEIS
- rij A000027 in OEIS
De engel-expansie van het getal
is dus 1 gevolgd door de rij van alle natuurlijke getallen. In het algemeen geldt:
![{\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa7c6d0ccec1eaf0b51d487f94f7e773ff9250e)
Zie ook
- Pierce-expansie, analoog aan de engel-expansie maar met afwisselend positieve en negatieve termen.
- Sylvester-expansie, een andere expansie met stambreuken.
Externe links
- Wolfram MathWorld: Engel expansion
Bronnen, noten en/of referenties
- ↑ F. Engel, "Entwicklung der Zahlen nach Stammbrüchen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmänner in Marburg, 1913, blz. 190-191.