Eenheid (algebra)

In de algebra, een deelgebied van de wiskunde, heet een element ${\displaystyle u}$ van een unitaire ring ${\displaystyle R}$, d.w.z. een (niet noodzakelijk commutatieve) ring met een neutraal element 1 voor de vermenigvuldiging, een eenheid in ${\displaystyle R}$, als ${\displaystyle u}$ een invers element voor de vermenigvuldiging heeft. Eenvoudig geformuleerd: een eenheid is een deler van 1.

De term moet niet verward worden met de term eenheid zoals die soms gebruikt wordt om het eenheidselement 1 van de ring aan te duiden, in een uitdrukkingen als 'ring met eenheid'. Om deze reden noemen sommige auteurs het element 1 de 'identiteit'.

• De verzameling van alle eenheden vormt een groep voor de vermenigvuldiging. Het product van twee eenheden is immers ook weer een eenheid.
• Als ${\displaystyle R}$ een lichaam (Ned) / veld (Be) is, dan is elk element, buiten het neutraal element van de optelling, een eenheid.

In een ring ${\displaystyle R}$ met een multiplicatieve identiteit ${\displaystyle 1}$ heet een element een eenheid als het multiplicatieve inverse ${\displaystyle v}$ heeft in de ring, dus waarvoor geldt:

${\displaystyle vu=uv=1}$

De verzameling eenheden ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ van de ring vormt een groep, de eenhedengroep, onder de vermenigvuldiging van de ring.

• De multiplicatieve identiteit ${\displaystyle 1}$ en zijn additieve inverse ${\displaystyle -1}$ zijn altijd eenheden.
• Meer in het algemeen is elke eenheidswortel ${\displaystyle r}$ in een ring een eenheid, want als ${\displaystyle r^{n}=1}$, dan is ${\displaystyle r^{n-1}=1}$ een multiplicatieve inverse van ${\displaystyle r}$.
• In een niet-triviale ring is het nulelement ${\displaystyle 0}$ geen eenheid, zodat de eenhedengroep ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ niet gesloten is onder optellen.
• Een ring ${\displaystyle R}$ waarin elk element ongelijk aan ${\displaystyle 0}$ een eenheid is (dat wil zeggen dat ${\displaystyle \mathrm {U} (R)=R\setminus \{0\}}$) wordt een delingsring (of scheeflichaam (Ned)/lichaam (Be)) genoemd. Een commutatieve delingsring is een lichaam (Ned) / veld (Be). De eenhedengroep ${\displaystyle \mathrm {U} (\mathbb {R} )}$ van het lichaam/veld ${\displaystyle \mathbb {R} }$ van de reële getallen is ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$.
• In de deelverzameling van de complexe getallen ${\displaystyle \{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}}$, de zogeheten gehele getallen van Gauss, zijn 1, i, -1 en -i de eenheden.
• In ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ zijn de eenheden de constante niet-nul functies.

Gehele getallen

In de ring van gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ zijn ${\displaystyle 1}$ en ${\displaystyle -1}$ de enige eenheden.

In een getallenlichaam kunnen over het algemeen meer eenheden voorkomen. Zo is in de ring ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\right]}$, die ontstaat door het kwadratisch geheel getal ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ aan ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ toe te voegen:

${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1}$

dus zijn ${\displaystyle {\sqrt {5}}+2}$ en ${\displaystyle {\sqrt {5}}-2}$ eenheden. (In feite is de eenheidsgroep van deze ring oneindig. Aangezien toenemende machten van ${\displaystyle {\sqrt {5}}+2}$ steeds groter worden en ook eenheden zijn, is de groep duidelijk niet-cyclisch.)

In feite beschrijft de eenheidsstelling van Dirichlet precies de structuur van ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$: de groep is isomorf met een groep in de vorm van een directe som

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\oplus \mu _{R}}$

waarbij ${\displaystyle \mu _{R}}$ de eindige, cyclische groep van eenheidswortels is in ${\displaystyle R}$, en ${\displaystyle n=r+s-1}$ de rang van de eenhedengroep is, waarbij ${\displaystyle r,s}$ respectievelijk het aantal echte inbeddingen en het aantal paren complexe inbeddingen van ${\displaystyle \mu _{R}}$ zijn.

Hiermee wordt het bovenstaande voorbeeld verbeterd: de eenhedengroep van een reëel kwadratisch lichaam/veld is oneindig van rang 1, aangezien ${\displaystyle r=2,s=0}$.

In de ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ van gehele getallen modulo ${\displaystyle n}$ zijn de eenheden de congruentieklassen modulo ${\displaystyle n}$ gerepresenteerd door gehele getallen die copriem zijn met ${\displaystyle n}$. Ze vormen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo ${\displaystyle n}$.

Voor een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ zijn de eenheden van de polynoomring ${\displaystyle R[x]}$ precies die polynomen

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots a_{n}x^{n}}$

waarvan ${\displaystyle a_{0}}$ een eenheid is in ${\displaystyle R}$, en de resterende coëfficiënten ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ nilpotente elementen zijn, d.w.z. voldoen ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ voor een of andere ${\displaystyle N}$. ^[1] In het bijzonder, als ${\displaystyle R}$ een integriteitsdomein is (heeft geen nuldelers), komen de eenheden van ${\displaystyle R[x]}$ overeen met die van ${\displaystyle R}$.

De eenheden van de ring van formele machteeksen ${\displaystyle R[[x]]}$ zijn precies die machtreeksen

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$

waarvoor ${\displaystyle a_{0}}$ een eenheid is in ${\displaystyle R}$. ^[2]

De eenhedengroep van de ring ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ van ${\displaystyle n\times n}$-matrices over een ring ${\displaystyle R}$ is de groep ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$ van inverteerbare matrices. Voor een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ is een element ${\displaystyle A}$ van ${\displaystyle \mathrm {M} (n,R)}$ dan en slechts dan inverteerbaar, als de determinant van ${\displaystyle A}$ inverteerbaar is in ${\displaystyle R}$. In dat geval wordt ${\displaystyle A^{-1}}$ expliciet gegeven door de regel van Cramer.

Als in een ring ${\displaystyle R}$ voor ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$ het element ${\displaystyle 1-xy}$ inverteerbaar is, dan is ook ${\displaystyle 1-yx}$ inverteerbaar met inverse ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$.^[3] De uitdrukking voor de inverse kan begrepen worden, maar niet bewezen, door de volgende berekening in een niet-abelse ring van machtreeksen:

${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x}$

De eenheden van een ring ${\displaystyle R}$ vormen een groep ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ onder vermenigvuldiging, de eenhedengroep van ${\displaystyle R}$. Andere veel voorkomende notaties voor ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ zijn ${\displaystyle R^{*}}$, ${\displaystyle R^{\times }}$ en ${\displaystyle \mathrm {E} (R)}$.

Een commutatieve ring is een lokale ring als ${\displaystyle R\setminus \mathrm {U} (R)}$ een maximaal ideaal is. Het blijkt dat als ${\displaystyle R\setminus \mathrm {U} (R)}$ een ideaal is, dan is het noodzakelijkerwijs een maximaal ideaal en is ${\displaystyle R}$ lokaal van ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$, aangezien een maximaal ideaal onsamenhangend is. Als ${\displaystyle R}$ een eindig lichaam/veld is, dan is ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ een cyclische groep van de orde ${\displaystyle |R|-1}$.

De formulering van de groep eenheden definieert een functor ${\displaystyle \mathrm {U} }$ van de categorie van ringen naar de categorie van groepen: elk ringhomomorfisme ${\displaystyle f\colon R\to S}$ induceert een groepshomomorfisme ${\displaystyle \mathrm {U} (f)\colon \mathrm {U} (R)\to \mathrm {U} (S)}$, aangezien ${\displaystyle f}$ eenheden toewijst aan eenheden.

De elementen ${\displaystyle r}$ en ${\displaystyle s}$ van een commutatieve ring ${\displaystyle R}$ heten geassocieerd als er een eenheid ${\displaystyle u\in R}$ bestaat waarvoor ${\displaystyle r=u\,s}$, genoteerd als ${\displaystyle r\sim s}$. In elke ring zijn paren van tegengestelde elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle -x}$ geassocieerd. (De elementen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle -x}$ zijn niet noodzakelijkerwijs verschillend. In de ring van gehele getallen modulo 6 bijvoorbeeld is ${\displaystyle 3=-3}$, hoewel ${\displaystyle 1\neq -1}$. Zo zijn 6 en −6 geassocieerd in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Over het algemeen is ${\displaystyle \sim }$ een equivalentierelatie op ${\displaystyle R}$.

Geassocieerdheid kan ook worden beschreven in termen van de groepswerking van ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$ op ${\displaystyle R}$ via vermenigvuldiging: Twee elementen van ${\displaystyle R}$ zijn geassocieerd als ze zich in dezelfde ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$-baan bevinden. In een integriteitsdomein heeft de verzameling van geassocieerden van een gegeven niet-nul element dezelfde kardinaliteit als ${\displaystyle \mathrm {U} (R)}$.

• Deelbaarheid (algebra)
• Irreducibel
• Priemelement