Dirichlet-energie
In de wiskunde is de Dirichlet-energie een maat voor de "variatie" van een functie. Meer abstract is het een kwadratische functionaal op de Sobolev-ruimte . De Dirichlet-energie is nauw verbonden met de Laplace-vergelijking en is genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet.
Definitie
Gegeven een open verzameling en een functie , dan is de Dirichlet-energie van u gedefinieerd door
Eigenschappen en toepassingen
Aangezien de Dirichlet-energie de integraal is van een niet-negatieve grootheid, is zij zelf ook niet-negatief, d.w.z.
voor elke functie u.
Het oplossen van de Laplace-vergelijking
(met geschikte randvoorwaarden) is equivalent aan het oplossen van het probleem uit de variatierekening van het vinden van een functie u die aan de randvoorwaarden voldoet en minimale Dirichlet-energie heeft. Zo'n oplossing heet een harmonische functie en deze zijn het onderwerp van studie in de potentiaaltheorie.
Zie ook
- principe van Dirichlet
- Totale variatie
Referenties
- Lawrence C. Evans (1998). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729.