Conway-driehoeknotatie

Bij berekeningen in een driehoek ABC wordt vaak gebruikgemaakt van Conway-driehoeknotatie, geïntroduceerd door John Conway.

Startend met S voor de dubbele oppervlakte van de driehoek schrijft hij S ϕ = S cot ⁡ ϕ {\displaystyle S_{\phi }=S\cot \phi } . In het bijzonder

  • S A = − a 2 + b 2 + c 2 2 = b c cos ⁡ A {\displaystyle S_{A}={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}=bc\cos A}
  • S B = a 2 − b 2 + c 2 2 = a c cos ⁡ B {\displaystyle S_{B}={\frac {a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2}}=ac\cos B}
  • S C = a 2 + b 2 − c 2 2 = a b cos ⁡ C {\displaystyle S_{C}={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}}=ab\cos C}
  • S ω = a 2 + b 2 + c 2 2 = S A + S B + S C {\displaystyle S_{\omega }={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}=S_{A}+S_{B}+S_{C}}

waarin zoals gebruikelijk a, b en c voor de lengtes van de zijden staan. Bovendien staan A, B en C voor de hoeken van de driehoek, en ω {\displaystyle \omega } voor de hoek van Brocard. Verder geldt de conventie S ϕ ψ = S ϕ S ψ {\displaystyle S_{\phi \psi }=S_{\phi }S_{\psi }} .

Rekenregels

De Conway-driehoeknotatie levert de volgende rekenregels:

  • S B + S C = a 2 {\displaystyle S_{B}+S_{C}=a^{2}}
  • S A + S C = b 2 {\displaystyle S_{A}+S_{C}=b^{2}}
  • S A + S B = c 2 {\displaystyle S_{A}+S_{B}=c^{2}}
  • S B C + S A C + S A B = S 2 {\displaystyle S_{BC}+S_{AC}+S_{AB}=S^{2}}
  • S A B C = S 2 S ω − a 2 b 2 c 2 {\displaystyle S_{ABC}=S^{2}S_{\omega }-a^{2}b^{2}c^{2}}