Bolschilstelling

In de klassieke mechanica leidt de bolschilstelling tot vereenvoudiging van de berekening van de zwaartekracht ten gevolge van een bolvormig lichaam. Deze stelling is van belang voor de sterrenkunde, de planetologie en de geofysica.

Isaac Newton formuleerde de bolschilstelling en gaf het bewijs ervan.

1. Een bolsymmetrisch lichaam oefent zwaartekracht op de buitenwereld uit alsof al zijn massa geconcentreerd is in een puntmassa in het middelpunt van het lichaam.
2. Als het lichaam een bolsymmetrische schil is (dus een holle bal) oefent deze schil geen netto zwaartekracht uit op een voorwerp in de binnenholte, waar dit voorwerp zich ook in de binnenholte bevindt.

Een gevolg van deze beide uitspraken is:

3. Binnen een massieve bol met constante dichtheid verloopt de zwaartekracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. In het middelpunt is de zwaartekracht nul.

Deze resultaten waren nodig voor de analyse van Isaac Newton van de beweging van de planeten. Ze kunnen bewezen worden met infinitesimaalrekening, maar volgen ook uit de Wet van Gauss voor zwaartekracht.

Omdat het elektrische veld dezelfde wet volgt als de zwaartekracht, geldt de bolschilstelling ook voor van het elektrische veld dat wordt voortgebracht door een statische bolsymmetrische ladingsdichtheid. Ook op elk ander verschijsel dat een omgekeerd kwadratische wet volgt, is de bolschilstelling van toepassing.

Een massief, bolsymmetrisch lichaam kan samengesteld worden uit oneindig veel concentrische, infinitesimaal dunne bolschillen. Als een daarvan kan worden behandeld als een puntmassa, dan kunnen ze dat allemaal samen (de hele bol dus) ook. Bekijk daartoe eerst een enkele bolschil.

In het diagram verwijst ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ naar de kleine hoek, niet naar de booglengte. De booglengte is ${\displaystyle R\mathrm {d} \theta }$.

Uit Newtons wet van de zwaartekracht volgt dat de grootte van de kracht door de gearceerde band gelijk is aan:

${\displaystyle \mathrm {d} F={\frac {Gm\,\mathrm {d} M}{s^{2}}}}$

Door symmetrie heffen sommige componenten van de kracht elkaar op, zodat de kracht die resulteert in de richting van ${\displaystyle m}$ gelijk is aan

${\displaystyle \mathrm {d} F_{r}={\frac {Gm\,\mathrm {d} M}{s^{2}}}\cos \phi }$

De totale kracht op ${\displaystyle m}$ wordt de som van de krachten die door alle banden worden uitgeoefend. Door de breedte van de banden te verkleinen en het aantal banden te vergroten wordt de som tot een integraal:

${\displaystyle F_{r}=\int \mathrm {d} F_{r}=\int {\frac {Gm\cos \phi }{s^{2}}}\,\mathrm {d} M}$

Daarin zijn ${\displaystyle G}$ en ${\displaystyle m}$ constanten en mogen buiten de integraal gehaald worden:

${\displaystyle F_{r}=Gm\int {\frac {\cos \phi }{s^{2}}}\,\mathrm {d} M}$

De oppervlakte van de gearceerde band is

${\displaystyle 2\pi R\sin \theta \cdot R\,\mathrm {d} \theta =2\pi R^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta }$

Aangezien de totale oppervlakte van de bolschil gelijk is aan ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$, is de massa van de band:

${\displaystyle \mathrm {d} M={\frac {2\pi R^{2}\sin \theta }{4\pi R^{2}}}M\,\mathrm {d} \theta ={\tfrac {1}{2}}M\sin \theta \,\mathrm {d} \theta }$,

waarin ${\displaystyle M}$ de totale massa van de bolschil is. Dus volgt:

${\displaystyle F_{r}={\tfrac {1}{2}}GMm\int {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}\,\mathrm {d} \theta }$

Volgens de cosinusregel is

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

en

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}}$

Differentiatie van de laatste uitdrukking levert:

${\displaystyle \sin \theta \,\mathrm {d} \theta ={\frac {s}{rR}}\,\mathrm {d} s}$

en substitutie in de integraal:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos \phi }{s}}\,\mathrm {d} s={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int \left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\,\mathrm {d} s}$,

waarin de nieuwe integratievariabele ${\displaystyle s}$ loopt van ${\displaystyle r-R}$ tot ${\displaystyle r+R}$.

Nu is:

${\displaystyle \int _{r-R}^{r+R}\left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)\,\mathrm {d} s=\left[s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right]_{r-R}^{r+R}=4R}$,

zodat

${\displaystyle F_{r}=G{\frac {Mm}{r^{2}}}}$

Daauit blijkt dat de zwaartekracht buiten de schil gedacht kan worden als veroorzaakt door een puntmassa ${\displaystyle M}$ in het middelpunt.

Om de zwaartekracht van een massieve bol met massa ${\displaystyle M}$ te berekenen wordt de zwaartekracht als gevolg van een bolschil met massa ${\displaystyle \mathrm {d} M}$ geïntegreerd:

${\displaystyle F_{\text{bol}}=\int {\frac {Gm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} M}$

Een bolschil tussen de stralen ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle x+\mathrm {d} x}$ heeft een massa:

${\displaystyle \mathrm {d} M={\frac {4\pi x^{2}\,\mathrm {d} x}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M=3{\frac {M}{R^{3}}}x^{2}\,\mathrm {d} x}$,

zodat

${\displaystyle F_{\text{bol}}=3{\frac {GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}\,\mathrm {d} x=G{\frac {Mm}{r^{2}}}}$

Daauit blijkt dat ook in dit geval de zwaartekracht buiten de bol gedacht kan worden als veroorzaakt door een puntmassa ${\displaystyle M}$ in het middelpunt.

Interessant is het geval met ${\displaystyle r<R}$, waarin de puntmassa binnen de bolschil ligt. Uit symmetrie-overwegingen volgt dat als de puntmassa in het middelpunt van de bolschil staat, de kracht nul moet zijn, maar dit geldt ook voor alle plaatsen binnen de schil.

De integraal loopt nu van ${\displaystyle R-r}$ tot ${\displaystyle R+r}$:

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}{\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\mathrm {d} s=0}$

De schil oefent dus geen nettokracht uit op deeltjes aan de binnenkant. Intuïtief is dit te verklaren uit de omgekeerde kwadratenwet: de stukjes schil vlak bij de massa ${\displaystyle m}$ oefenen een grote kracht uit, terwijl grote lappen schil verder weg veel minder aan de kracht bijdragen.

Het effect van een bolsymmetrische bolschil met eindige dikte (binnenste straal ${\displaystyle R_{a}}$ en buitenste straal ${\displaystyle R_{b}}$) kan ook worden berekend. De zwaartekracht binnen en buiten de bolschil wordt op dezelfde manier gevonden als bij een dunne schil. Maar wat is de zwaartekracht in de schil zelf, dus voor ${\displaystyle R_{a}<r<R_{b}}$?

Uit het bovenstaande blijkt dat alleen de dikke bolschil tussen ${\displaystyle R_{a}}$ en ${\displaystyle r}$ bijdraagt aan de zwaartekracht. Net als boven kan deze dikke bolschil in gedachten worden samengesteld uit vele concentrische dunne bolschillen met straal ${\displaystyle R_{a}<R<r}$. De bijdrage aan de zwaartekracht van een zo'n schil is:

${\displaystyle \mathrm {d} F_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\mathrm {d} M_{R}}$

Daarin is

${\displaystyle \mathrm {d} M_{R}=4\pi R^{2}\rho \,\mathrm {d} R}$,

met ${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi (R_{b}^{3}-R_{a}^{3})}}}$ de homogene massadichtheid. Dus is

${\displaystyle F_{r}={\frac {4\pi Gm}{r^{2}}}\int _{R_{a}}^{r}R^{2}\rho \,\mathrm {d} R=G{\frac {Mm}{r^{2}}}\int _{R_{a}}^{r}{\frac {3R^{2}}{R_{b}^{3}-R_{a}^{3}}}\,\mathrm {d} R=G{\frac {Mm}{r^{2}}}{\frac {r^{3}-R_{a}^{3}}{R_{b}^{3}-R_{a}^{3}}}}$

Een massieve bol met straal ${\displaystyle R}$ kan gezien worden als een speciaal geval van een dikke bolschil met ${\displaystyle R_{a}=0}$ en ${\displaystyle R_{b}=R}$:

Dus geldt voor ${\displaystyle r<R}$:

${\displaystyle F_{r}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}{\frac {r}{R}}}$

Vele hemellichamen zijn in goede benadering bolsymmetrische massieve lichamen. Maar meestal is de dichtheid ${\displaystyle \rho (R)}$ in het algemeen niet overal gelijk, maar omgekeerd evenredig met ${\displaystyle R}$. Dit leidt tot onverwachte resultaten. We zouden denken dat de zwaartekracht afneemt als we op aarde afdalen in een diepe mijnschacht. Maar omdat de dichtheid toeneemt met de diepte, neemt de zwaartekracht eerst enigszins toe. Dit effect zou sterker moeten zijn op een gasvormige reuzenplaneet als Jupiter.

• Gravitatiewet van Newton
• Wet van Gauss
• Omgekeerde kwadratenwet