Darjah polinomial

Dalam matematik, darjah bagi satu-satu polinomial adalah darjah tertinggi dari monomial polinomial (sebutan individu) dengan pekali bukan sifar. Tahap sebutan adalah jumlah eksponen pemboleh ubah yang muncul di dalamnya, dan dengan itu adalah integer bukan negatif. Istilah tertib ini telah digunakan sebagai sinonim untuk darjah tetapi, pada masa kini, mungkin merujuk kepada beberapa konsep lain. Contohnya, polinomial 7 x 2 y 3 + 4 x − 9 , {\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,} yang juga boleh dinyatakan sebagai 7 x 2 y 3 + 4 x 1 y 0 − 9 x 0 y 0 , {\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},} mempunyai tiga sebutan. Sebutan pertama mempunyai darjah 5 (jumlah kuasa 2 dan 3), sebutan kedua mempunyai darjah 1, dan sebutan terakhir mempunyai darjah 0. Oleh itu, polinomial tersebut mempunyai darjah 5, yang merupakan darjah tertinggi bagi sebarang sebutan.

Untuk menentukan tahap polinomial yang tidak dalam bentuk piawai (contohnya: ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2 {\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}} ), seseorang harus meletakkannya terlebih dahulu dalam bentuk piawai dengan memperluas hasil darab (berdasarkan agihan) dan menggabungkan sebutan yang serupa; sebagai contoh ( x + 1 ) 2 − ( x − 1 ) 2 = 4 x {\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x} adalah darjah 1, walaupun setiap yang ditambah mempunyai darjah 2. Walau bagaimanapun, ini tidak diperlukan apabila polinomial dinyatakan sebagai hasil darab polinomial dalam bentuk piawai, kerana darjah bagi hasil darab adalah jumlah bagi darjah faktornya.

Nama polinomial mengikut darjah

Nama berikut diberikan kepada polinomial mengikut darjahnya:[1][2][3]

  • Kes khas - sifar
  • Darjah 0 - pemalar bukan sifar[4]
  • Darjah 1 - linear
  • Darjah 2 - kuadratik
  • Darjah 3 - kubik
  • Darjah 4 - kuartik (atau, jika semua sebutan mempunyai darjah genap, dwikuadratik)
  • Darjah 5 - kuintik
  • Darjah 6 - sextic (atau, lebih jarang, hexic)
  • Darjah 7 - septik (atau, lebih jarang, heptik)

Untuk darjah yang lebih tinggi, nama kadang-kadang dicadangkan,[5] tetapi jarang digunakan:

  • Darjah 8 - oktik
  • Darjah 9 - nonik
  • Darjah 10 - desik

Nama untuk darjah di atas tiga didasarkan pada nombor ordinal Latin, dan diakhiri dengan -ik. Ini harus dibezakan dari nama-nama yang digunakan untuk bilangan pemboleh ubah, ariti, yang berdasarkan nombor distributif Latin, dan berakhir dengan -ari. Sebagai contoh, darjah dua polinomial dalam dua pemboleh ubah, seperti x 2 + x y + y 2 {\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}} , disebut "kuadratik binari": binari kerana dua pemboleh ubah, kuadratik kerana berdarjah dua. [a] Terdapat juga nama untuk sebilangan istilah, yang juga berdasarkan nombor distributif Latin, yang berakhir dengan -nomial ; yang biasa ialah monomial, binomial, dan trinomial (kurang biasa); dengan demikian x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} adalah "binomial kuadratik binari".

Contoh lain

  • Polinomial 3 − 5 x + 2 x 5 − 7 x 9 {\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}} adalah polinomial nonik
  • Polinomial ( y − 3 ) ( 2 y + 6 ) ( − 4 y − 21 ) {\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)} adalah polinomial kubik
  • Polinomial ( 3 z 8 + z 5 − 4 z 2 + 6 ) + ( − 3 z 8 + 8 z 4 + 2 z 3 + 14 z ) {\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)} adalah polinomial kuintik (sebagai z 8 {\displaystyle z^{8}} dibatalkan keluar)

Bentuk kanonik dari tiga contoh di atas adalah:

  • untuk 3 − 5 x + 2 x 5 − 7 x 9 {\displaystyle 3-5x+2x^{5}-7x^{9}} , setelah menyusun semula, − 7 x 9 + 2 x 5 − 5 x + 3 {\displaystyle -7x^{9}+2x^{5}-5x+3}  ;
  • untuk ( y − 3 ) ( 2 y + 6 ) ( − 4 y − 21 ) {\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)} , setelah memperbanyak dan mengumpulkan istilah dengan darjah yang sama, − 8 y 3 − 42 y 2 + 72 y + 378 {\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}  ;
  • untuk ( 3 z 8 + z 5 − 4 z 2 + 6 ) + ( − 3 z 8 + 8 z 4 + 2 z 3 + 14 z ) {\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)} , di mana dua sebutan darjah 8 dimansuhkan, z 5 + 8 z 4 + 2 z 3 − 4 z 2 + 14 z + 6 {\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6} .

Catatan

  1. ^ "Names of Polynomials". November 25, 1997. Dicapai pada 5 February 2012.
  2. ^ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
  3. ^ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
  4. ^ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f ( x ) = a 0 {\displaystyle f(x)=a_{0}} : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a 0 {\displaystyle a_{0}} ." (p. 23)
  5. ^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

Rujukan

  • Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (ed. 2nd), Springer Science & Business Media
  • Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (ed. 2nd), Springer Science & Business Media
  • Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (ed. 3rd), Springer Science & Business Media
  • Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstract Algebra (ed. 2nd), Springer Science & Business Media
  • King, R. Bruce (2009), Beyond the Quartic Equation, Springer Science & Business Media
  • Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (ed. 3rd), American Mathematical Society
  • Shafarevich, Igor R. (2003), Discourses on Algebra, Springer Science & Business Media

Pautan luar

  • Perintah Polinomial ; Wolfram MathWorld


Ralat petik: Tag <ref> wujud untuk kumpulan bernama "lower-alpha", tetapi tiada tag <references group="lower-alpha"/> yang berpadanan disertakan