Δ接続回路とY接続回路 Y-Δ変換(ワイ-デルタへんかん、Y-Δ transform)、スターデルタ変換(star-delta transform)、T-Π変換(ティ-パイへんかん、T-Π transform)とは、Y字型に接続したY接続(Y diagram)回路と、三角形に接続したΔ接続(Δ diagram)回路が、等価の回路になるように変換する手法である。回路の形状がアルファベットのY・Tやギリシア文字のΔに見えることからこの名前がつけられた。なお、イギリスではY接続回路をスター接続(star diagram)回路と呼ぶ。
一部の文献では、Y接続からΔ接続への変換をY-Δ変換と定義し、逆変換(Δ接続からY接続への変換)を、Δ-Y変換、デルタスター変換、Π-T変換と記載している。
Y-Δ変換の基本
変換は図に示す3端子の回路で行なわれる。それぞれの回路の端子は同一の端子である必要がある。この変換式は、実数(抵抗素子)の場合だけでなく、複素数(容量素子、誘導素子)の場合でも成立する。
Δ回路からY回路への変換
一般に、Y接続回路のある端子に接続されるインピーダンスRyは、Δ接続回路で隣接するノードへのインピーダンス
と
から次のように表される。
![{\displaystyle R_{y}={\frac {R'R''}{\sum R_{\Delta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a47566c3daa9ca4518f914e9e7d95314cbf3b41)
ただし、
はΔ接続回路の全てのインピーダンスの和である。これから次式が得られる。
![{\displaystyle R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1733587ea30a17d64f597e8024cf0839036ed8ba)
![{\displaystyle R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45538e8fb0edad580e8a12fecf6d357a32711cc2)
![{\displaystyle R_{c}={\frac {R_{bc}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77740678aa0ccdca216db10ea65f473d44e5379)
1. 並列接続した抵抗値を求める公式から以下の3式を導く
![{\displaystyle R_{a}+R_{b}={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+(R_{bc}+R_{ac})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e440a2898aad7ba8d68f46819bb5a66b78fe8b)
![{\displaystyle R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+(R_{ac}+R_{ab})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/360a118f233bfb75eb4d1664e5b7e95508ee062d)
![{\displaystyle R_{c}+R_{a}={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ca}+(R_{ab}+R_{bc})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f54c62b44e37aa2ec630bd375c1277283534295)
2. 上記3式の両辺を足して、以下の式を導く
![{\displaystyle R_{a}+R_{b}+R_{c}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{bc}R_{ac}+R_{ac}R_{ab}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b11228fbaaba7a193879faf8f3f8d2d9bdf64ba)
3. 元の3式との差を取ることで、インピーダンスを計算する式が導きだせる
例)
![{\displaystyle R_{b}+R_{c}={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cae29c3a753b43ad7f44e330cbd7903751943372)
との差を取ると、
![{\displaystyle R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1733587ea30a17d64f597e8024cf0839036ed8ba)
Y回路からΔ回路への変換
一般に、Δ接続回路のある端子間に接続されるインピーダンス
は、以下の式で表される。
![{\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0b4628674e45829b18f0d48d98df08f53ea3ee)
ただし、
であり、Y接続回路中のインピーダンスの2つの積の和である。
は、
に対抗する辺のインピーダンスである。これから次式が得られる。
![{\displaystyle R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c33532f10c7e4f27a0e4d4c3ebeef23543b7f6d)
![{\displaystyle R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7317a6fc17fa157d3a16425fa4cb68bc908a8a74)
![{\displaystyle R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2679ecd18b1b318e7816b4f29cee250699072990)
グラフ理論
グラフ理論ではY-Δ変換は、グラフ中のYのサブグラフを同等のΔのサブグラフに置き換えることである。この変換はグラフのエッジの数を増加させることは無いが、グラフのノードの数を増加させる。2つのグラフは、Y-Δ変換と逆変換を行い、もとに戻るのであるなら、Y-Δ等価であるという。例えば、ピーターセングラフはY-Δ等価なクラスである。