理論物理学において、BPS状態(BPS states)は、超対称な中心電荷 Z に等しい質量を持つ拡大超対称性(英語版)(extended supersymmetry)の質量表現である。量子力学では、超対称性が破れない場合、質量がちょうど Z の絶対値に等しい。この重要性は、多重項が生成時の質量表現よりも短くなることにあり、状態は安定で、質量公式は完全になる。
d=4, N=2 の場合
超代数(英語版)(superalgebra)の奇の部分の生成子は、次の関係式を持つ[1]。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\{Q_{\alpha }^{A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=2\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{m}P_{m}\delta _{B}^{A}\\\{Q_{\alpha }^{A},Q_{\beta }^{B}\}&=2\epsilon _{\alpha \beta }\epsilon ^{AB}{\bar {Z}}\\\{{\bar {Q}}_{{\dot {\alpha }}A},{\bar {Q}}_{{\dot {\beta }}B}\}&=-2\epsilon _{{\dot {\alpha }}{\dot {\beta }}}\epsilon _{AB}Z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc33cf8d6d01f76f8336bdc0274f331e3001f73)
ここに、:
はローレンツ群のインデックスで、A, B は R-対称なインデックスである。
上の生成子の線型結合を次のように取る。
![{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}+\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\T_{\alpha }^{A}&=\xi ^{-1}Q_{\alpha }^{A}-\xi \sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{0}{\bar {Q}}^{{\dot {\beta }}B}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5918fb14fc1e0820c29ee74e7fae29f77814f542)
4つの運動量
を持つ状態 ψ を考える。次の作用素をこの状態へ適用すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}(R_{1}^{1}+(R_{1}^{1})^{\dagger })^{2}\psi &=4(M+Re(Z\xi ^{2}))\psi \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39056870fb950555f686222ef0a1c2e8de6f2b5)
を得る。
しかし、これはエルミート作用素の平方であるので、右辺の係数は、すべての
に対し、正である必要がある。
特に、このことから導かれる最も強い結果は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}M\geq |Z|\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c920ff4b8f212c68028b152353bdb2f4dd864768)
である。
応用例
- 超対称性を持つブラックホールのエントロピーSupersymmetric black hole entropies[2]
参照項目
- BPS境界(英語版)(Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound)
- 短超多重項(英語版)(short supermultiplet)
参考文献
- ^ Moore, Gregory, PiTP Lectures on BPS States and Wall-Crossing in d=4, N=2 Theories, http://www.physics.rutgers.edu/~gmoore/PiTP_July26_2010.pdf
- ^ Strominger, A.; Vafa, C. (1996). “Microscopic origin of the Bekenstein-Hawking entropy”. Physics Letters B 379 (1–4): 99. arXiv:hep-th/9601029. Bibcode: 1996PhLB..379...99S. doi:10.1016/0370-2693(96)00345-0.