数学において、貴金属比(ききんぞくひ、英語: metallic ratio)とは、
(n は自然数)
で表される比のことである。
線分比 a : b が第n貴金属比であるとは、
![{\displaystyle (b-na):a=a:b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6901cd6e22b7ca0466b0c97fdaab2e1b0686e3dd)
が成り立つことを意味する。
を貴金属数(ききんぞくすう、英語: metallic number)という。第n貴金属数 Mn は、逆数との差が自然数 n である正の実数、つまり
(n は自然数)
で特徴付けられる。
貴金属数
貴金属数 n | 第n貴金属数 | 小数展開 | オンライン整数列大辞典 | 別名 |
0 | | 1 | | |
1 | | 1.6180339887… | A001622 | 黄金数 |
2 | | 2.4142135623… | A014176 | 白銀数 |
3 | | 3.3027756377… | A098316 | 青銅数 |
4 | | 4.2360679774… | A098317 | |
5 | | 5.1925824035… | A098318 | |
6 | | 6.1622776601… | A176398 | |
7 | | 7.1400549446… | A176439 | |
8 | | 8.1231056256… | A176458 | |
9 | | 9.1097722286… | A176522 | |
… | … |
n | |
自然数 n に対して、第 n 貴金属数は、二次方程式 x2 − nx − 1 = 0 の正の解であり、
![{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc525ad85eebd025103eb00678b7ea3923efa19d)
である。
貴金属数の累乗
- 貴金属数の正の奇数乗は、常に貴金属数である。
- 貴金属数の正の偶数乗は、常に逆数との和が自然数である実数である。
連分数表示
貴金属数の連分数表示は
![{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95c55de273af96c5fcd4a6cc7fc45fc1022d0f1)
である。
数列の商の極限
黄金数(第1貴金属数)が、フィボナッチ数列の隣接2項の商の極限で表されるように、一般に第 n 貴金属数にも、隣接2項の商の極限となる数列が存在する。
数列 {Mk} を、漸化式
![{\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63c19369d372742f10380a4ed56813817ea24ba9)
で定義すると、この一般項は、第 n 貴金属数を μ として、
![{\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5bd846603a408f7ca5461767e82354099daa7f)
で表される。このとき、この数列の隣接2項の商は、k → ∞ のときに μ に収束する。すなわち、
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a8e413b7cd1f1e17572adc5fe0ceb0d1b3c45)
が成り立つ。
青銅比
青銅比(せいどうひ、英語: bronze ratio)は、
![{\displaystyle 1:{\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3448cb6bbb40b619a63b8051a12571a61b5b44eb)
の比である。近似値は 1 : 3.303。貴金属比の一つ(第3貴金属比)。
青銅比において
![{\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}=3.3027756377\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3f5994ddfce888ca472dc7201d441313cc3d07)
は、二次方程式 x2 − 3x − 1 = 0 の正の解であり、これを青銅数(せいどうすう、英語: bronze number)という。
青銅数を連分数で表すと
![{\displaystyle 3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8af35a734b1d3e62780ecf0ab5abb395c1911431)
となる。
関連項目