空間的自己相関

空間的自己相関（くうかんてきじこそうかん、英語: spatial autocorrelation）とは、空間的な意味での自己相関のことである^[1]。ある地域における事象が、周辺の他の地域における事象の影響を受けて相互作用が発生する場合、空間的自己相関があるという^[2]。

空間的自己相関は、計量地理学において重要な課題の1つである^[3]。

空間的自己相関の指標では、グローバルな^{[注釈 1]}ものとローカルなものの2種類がある^[5]。グローバルな指標は、分析対象地域全体の一般性の探求のために用いられる^[4]。地理学ではモランのI統計量（英語版）とゲイリーのC統計量（英語版）がよく用いられる^[6]。一方、ローカルな指標は、分析対象地域における局所的なクラスターの抽出などに用いることができる^[7]。

モランのI統計量は、Moran (1948)により提案され、Cliff and Ord (1981)により改良された統計量である^[8]。この統計量では、空間的自己共分散を標準化している^[6]。モランのI統計量は、式(1)で表される^[6]。

${\displaystyle I={\frac {n}{W}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}(x_{i}-{\bar {x}})(x_{j}-{\bar {x}})}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

(1)

なお、${\displaystyle n}$は小区域数、${\displaystyle x_{i}}$は区域${\displaystyle i}$の属性値、${\displaystyle {\bar {x}}}$は平均、${\displaystyle w_{ij}}$は重み係数^{[注釈 2]}であり、${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}}$とする^[6]。

モランのI統計量を用いることで、ある属性の凝集の程度を知ることができる^[9]。ここで${\displaystyle I>0}$のとき、${\displaystyle I}$がより大きくなるほど、隣接する小区域と属性が似通うことになるため、面フィーチャ分布は凝集型となっていく^[10]。逆に、${\displaystyle I<0}$のときは、${\displaystyle I}$がより小さくなるほど、隣接する小区域と属性が相異なることになるため、面フィーチャ分布は均等型となっていく^[10]。${\displaystyle I\approx 0}$のときは、それぞれの小区域の属性は他の小区域とは関係がなく、面フィーチャ分布は完全ランダム型となっていく^[10]。

ゲイリーのC統計量は、Geary (1954)により提唱された統計量である^[11]。式(2)で表される^[12]。

${\displaystyle c={\frac {n-1}{2W}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{i}-x_{j})}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

(2)

ここで${\displaystyle c<1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$は正の空間的自己相関をもち、${\displaystyle c=1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$はランダムに分布し、${\displaystyle c>1}$のときは${\displaystyle x_{i}}$は負の空間的自己相関をもつ^[12]。

Getis and Ord (1992)により提唱された測度であり、式(3)・式(4)で表される^[13]。${\displaystyle G_{i}}$は、${\displaystyle x_{j}}$に${\displaystyle x_{i}}$が含まれない場合であるが、${\displaystyle G_{i}^{*}}$では、${\displaystyle x_{j}}$に${\displaystyle x_{i}}$も含まれる^[13]。

${\displaystyle G_{i}={\frac {\sum _{j=1}^{n}w_{ij}x_{j}}{\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}$ ただし${\displaystyle j\neq i}$

(3)

${\displaystyle G_{i}^{*}={\frac {\sum _{j=1}^{n}w_{ij}x_{j}}{\sum _{j=1}^{n}x_{j}}}}$

(4)

ここで${\displaystyle w_{ij}}$は区域${\displaystyle i}$と区域${\displaystyle j}$の区域間結合の強さを意味し、距離逓減関数で求められることが多い^[13]。

ローカル・モラン統計量は、近接する地区${\displaystyle i}$、地区${\displaystyle j}$における属性値${\displaystyle x_{i}}$、${\displaystyle x_{j}}$を利用して${\displaystyle x}$の空間的自己相関を評価するための指標である^[14]。Anselin (1995)により提唱された統計量であり、モランのI統計量のローカル統計量バージョンにあたる^[13]。ローカル・モラン統計量${\displaystyle I_{i}}$は、式(5)で表される^[15]。

${\displaystyle I_{i}={(x_{i}-{\bar {x}})}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{j}-{\bar {x}})}}$

(5)

ローカル・モラン統計量は、地理的事象の詳細な分布を厳密に捉える手段として利用することができる^[16]。

このほか、ローカル・モラン統計量を拡張させたものとして、2変量ローカル・モラン統計量がある。これは、2変量${\displaystyle x}$・${\displaystyle y}$について、${\displaystyle x_{i}}$と${\displaystyle y_{j}}$の空間的自己相関を評価するための指標となり、式(6)で求められる^[14]。

${\displaystyle I_{xy}^{i}=z_{x}^{i}\sum _{j=1}^{n}w_{ij}z_{y}^{j}}$

(6)

ただし、${\displaystyle z_{x}^{i}}$・${\displaystyle z_{y}^{j}}$は${\displaystyle x_{i}}$・${\displaystyle y_{j}}$を標準化させた後の値、${\displaystyle w_{ij}}$は2区域${\displaystyle i}$・${\displaystyle j}$の地域間結合の強さを示す値である^[14]。

ローカル・ゲーリー統計量は、Anselin (1995)により提唱された統計量であり、ゲーリーのC統計量のローカル統計量バージョンにあたる^[13]。ローカル・ゲーリー統計量${\displaystyle c_{i}}$は、式(7)で表される^[15]。

${\displaystyle c_{i}=\sum _{j=1}^{n}w_{ij}{(x_{i}-x_{j})}^{2}}$

(7)

空間的自己相関の有無の判定においては、仮説検定を行うと良い^[17]。空間的自己相関が存在しないという帰無仮説を立て、帰無仮説を棄却することで空間的自己相関が存在すると判定することになる^[18]。

モランのI統計量を用いて空間的自己相関の有無を判定するときの検定統計量は、式(8)で表される^[6]。なお、${\displaystyle \operatorname {E} (I)}$は${\displaystyle I}$の期待値、${\displaystyle \operatorname {Var} (I)}$は${\displaystyle I}$の分散である^[6]。

${\displaystyle z={\frac {I-\operatorname {E} (I)}{\sqrt {\operatorname {Var} (I)}}}}$

(8)

ゲイリーのC統計量の場合は、検定統計量は式(9)で表される^[12]。

${\displaystyle z={\frac {c-\operatorname {E} (c)}{\sqrt {\operatorname {Var} (c)}}}}$

(9)

ローカルな空間的自己相関測度で、仮説検定を行うときの標準化変量は、式(10)・式(11)で表される^[13]。

${\displaystyle \operatorname {Z} (G_{i})={\frac {G_{i}-\operatorname {E} (G_{i})}{\sqrt {\operatorname {Var} (G_{i})}}}}$

(10)

${\displaystyle \operatorname {Z} (G_{i}^{*})={\frac {G_{i}-\operatorname {E} (G_{i}^{*})}{\sqrt {\operatorname {Var} (G_{i}^{*})}}}}$

(11)

空間的自己相関は、当初は空間データにおける統計分析を行ううえでの前提条件を満たしているかどうかの確認方法として用いられていた^[19]。空間データについて統計分析を行う場合、距離減衰効果により近隣の個体標本間での相互作用の影響を受ける特徴をもつため、観測地間での独立性の前提が成立しないという問題があり、例えば回帰分析を行うときの残差で、絶対値が大きい値が集中する傾向にあった^[20]。これらは最小二乗推定値に悪影響を及ぼすため、非ランダム性の存在を表す指標を考案することで、空間的自己相関の影響を除去し、悪影響を回避することを試みていた^[19]。当時は空間的自己相関についてネガティブなイメージが強かったといえる^[19]。

一方、Cliff and Ord (1973)の刊行後は、空間的自己相関は地理学の研究課題として重視されるようになった^[19]。空間パターンが形成される原因としての空間的自己相関の影響や、空間的自己相関が空間パターンの構造や形成プロセスなどの分析で利用できることが明らかになっていった^[21]。空間パターンの説明変数としての重要性が認識されるようになり、ポジティブなイメージに変化していった^[22]。

ここまではグローバルな空間的自己相関の研究が行われていたが、Getis and Ord (1992)以降、ローカルな空間的自己相関の研究が進行するようになった^[13]。

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• Cliff, A.D.; Ord, J.K. (1973). Spatial Autocorrelation. Pion 
• Cliff, A.D.; Ord, J.K. (1981). Spatial Processes: Models and Applications. Pion 
• Geary, R.C. (1954). “The Contiguity Ratio and Statistical Mapping”. The Incorporated Statistician 5: 115-141. doi:10.2307/2986645. 
• Getis, A.; Ord, J.K. (1992). “The analysis of spatial association by use of distance statistics”. geographical Analysis 24: 189-206. doi:10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x. 
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• 張長平『都市の空間データ分析』古今書院、2010年。ISBN 978-4-7722-5249-2。 
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• 宮澤仁「関東地方における介護保険サービスの地域的偏在と事業者参入の関係」『地理学評論』第76巻第2号、2003年、59-80頁、doi:10.4157/grj.76.59。 
• 森田匡俊、奥貫圭一、塩出志乃「老年人口密度を考慮した高齢化率の空間的分布パターンの把握に関する研究」『地理学評論』第85巻第6号、2012年、608-617頁、doi:10.4157/grj.85.608。 

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
記述統計学	連続データ 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック–ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	相関係数 ピアソンの積率相関係数 スピアマンの順位相関係数 ケンドールの順位相関係数 偏相関係数 その他 自己相関 空間的自己相関 相互相関 交絡変数 相関関係と因果関係 擬似相関 錯誤相関
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 回帰木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクター回帰 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法（k-means++法） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定（カーネル） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉図 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存時間分析	生存時間関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
全般	統計 頻度主義統計学 統計学および機械学習の評価指標
その他	方向統計学 S言語 R言語 統計検定 社会調査士 JDLA Deep Learning For GENERAL JDLA Deep Learning for ENGINEER 実用数学技能検定 品質管理検定
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