時不変系(じふへんけい、英語: time-invariant system)は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号
によって出力
が生成されるとき、時間をシフトさせた入力
では出力も
となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。
形式的には、
をシフト作用素としたとき(
)、次が成り立つ
を時不変作用素と呼ぶ。
![{\displaystyle T(S_{\delta }x)=S_{\delta }(Tx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02fa07f83c71f302c27cb7e9c7928487d5953dca)
この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。
- 系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。
単純な例
系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。
- 系 A:
![{\displaystyle y(t)=t\cdot x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df88b7d459f2501df6ec79587e26cd5166d3fae)
- 系 B:
![{\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6262c80fb83ff200f608c8971ac6b9f1bd9808)
系 A は
と
以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。
形式的な例
次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義(系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である)を利用する。
系 A:
- 遅延のある入力
を与えると、次のようになる。 ![{\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc4c3e80e7adc14ec57106a358984fe3e757ad1)
- ここで出力を
のぶんだけ遅延させる。 ![{\displaystyle y(t)=t\,x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6481c5648020491664114380e416e05b373f6d59)
![{\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec9ea0a4336188fc20a3b277f5aef5ad1e787db)
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。
系 B:
- 遅延のある入力
を与えると、次のようになる。 ![{\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906af5167bfc85f14f351f8bd768b48f04c86bb7)
- ここで出力を
のぶんだけ遅延させる。 ![{\displaystyle y(t)=10\,x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a5bb2366d35d2405fa4c3384bf5e5febe1bccb)
![{\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90812b5493d1eef0dd694c53814594ad297fa9eb)
であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。
抽象的な例
シフト作用素を
と表す。ここで、
はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系
![{\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32a9100ebbcca784e5fdcb75b556393c2f73b90)
は、ここでの抽象的記法では次のようになる。
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2090aa70d03a374bf21433d0ea20165b17dc615b)
ここで、
は次の式で与えられる関数である。
![{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e5de215af9d0299b43d637da213f73150914b0)
シフトされた出力となる系は次のようになる。
![{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef6a55e43b6620138e2f90f53d413a9a74e4aecf)
従って
は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。
ここで、系を作用素
で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、
![{\displaystyle \forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f0e38a75b2850959be09dfbdded85ec838b8c1)
系の方程式が次のようであるとする。
![{\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73baddc615b3f352155e27ca39e6201f86307176)
この系が時不変であるとは、系の作用素
を
に適用してからシフト作用素
を適用した場合と、シフト作用素
を適用してから系の作用素
を適用した場合で、結果が等価となる場合である。
系の作用素を先に適用すると、次のようになる。
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65931e30892883ef3e98398b7f17b5fdc9318256)
シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。
![{\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf129c39b955eda06b84d5c375774ede7e73f5d1)
従って、系が時不変なら次が成り立つ。
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff85035a0d6fd0e91537806d460ba4b7efcfad02)
関連項目