時不変系

時不変系（じふへんけい、英語: time-invariant system）は、その出力が時間に明示的に依存していない系である。入力信号 x {\displaystyle x} によって出力 y {\displaystyle y} が生成されるとき、時間をシフトさせた入力 t ↦ x ( t + δ ) {\displaystyle t\mapsto x(t+\delta )} では出力も t ↦ y ( t + δ ) {\displaystyle t\mapsto y(t+\delta )} となり、同じだけ時間をシフトしたものとなる。

形式的には、 S {\displaystyle S} をシフト作用素としたとき（ S δ x ( t ) = x ( t − δ ) {\displaystyle S_{\delta }x(t)=x(t-\delta )} ）、次が成り立つ T {\displaystyle T} を時不変作用素と呼ぶ。

T ( S δ x ) = S δ ( T x ) {\displaystyle T(S_{\delta }x)=S_{\delta }(Tx)}

この属性は、系の伝達関数が時間の関数ではなく、入力と出力だけで表される場合に満足される。また、概略的に表すと次のようになる。

系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である。

単純な例

系が時不変かどうかを判定する例を示すため、次の2つの系を考える。

  • 系 A: y ( t ) = t ⋅ x ( t ) {\displaystyle y(t)=t\cdot x(t)}
  • 系 B: y ( t ) = 10 ⋅ x ( t ) {\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}

系 A は x ( t ) {\displaystyle x(t)} と y ( t ) {\displaystyle y(t)} 以外の部分で明示的に t に依存しているので、時変である。一方系 B は明示的に t に依存していないので、時不変である。

形式的な例

次に A と B の系がなぜ上述のように言えるのかを、形式的な証明によって示す。証明するために、第二の定義（系が時不変であるとき、その系のブロックは任意の遅延について可換である）を利用する。

系 A:

遅延のある入力 x d ( t ) = x ( t + δ ) {\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )} を与えると、次のようになる。
y 1 ( t ) = t x d ( t ) = t x ( t + δ ) {\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}
ここで出力を δ {\displaystyle \delta } のぶんだけ遅延させる。
y ( t ) = t x ( t ) {\displaystyle y(t)=t\,x(t)}
y 2 ( t ) = y ( t + δ ) = ( t + δ ) x ( t + δ ) {\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}
y 1 ( t ) ≠ y 2 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)} であることは明らかであり、従ってこの系は時不変ではない。

系 B:

遅延のある入力 x d ( t ) = x ( t + δ ) {\displaystyle x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )} を与えると、次のようになる。
y 1 ( t ) = 10 x d ( t ) = 10 x ( t + δ ) {\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}
ここで出力を δ {\displaystyle \delta } のぶんだけ遅延させる。
y ( t ) = 10 x ( t ) {\displaystyle y(t)=10\,x(t)}
y 2 ( t ) = y ( t + δ ) = 10 x ( t + δ ) {\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}
y 1 ( t ) = y 2 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)} であることは明らかであり、従ってこの系は時不変である。他にも証明方法はあるが、これが最も容易である。

抽象的な例

シフト作用素を T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} と表す。ここで、 r {\displaystyle r} はベクトルの添え字群がシフトされるべき量である。例えば、"advance-by-1" 系

x ( t + 1 ) = δ ( t + 1 ) ∗ x ( t ) {\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}

は、ここでの抽象的記法では次のようになる。

x ~ 1 = T 1 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}

ここで、 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} は次の式で与えられる関数である。

∀ t ∈ R   x ~ = x ( t ) {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}=x(t)}

シフトされた出力となる系は次のようになる。

∀ t ∈ R   x ~ 1 = x ( t + 1 ) {\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} \ {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)}

従って T 1 {\displaystyle \mathbb {T} _{1}} は入力ベクトルを 1 だけ進める作用素である。

ここで、系を作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } で表す。この系が時不変であるのは、この作用素とシフト作用素の間で交換法則が成り立つ場合である。すなわち、

∀ r   T r H = H T r {\displaystyle \forall r\ \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}}

系の方程式が次のようであるとする。

y ~ = H x ~ {\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}

この系が時不変であるとは、系の作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } を x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} に適用してからシフト作用素 T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} を適用した場合と、シフト作用素 T r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}} を適用してから系の作用素 H {\displaystyle \mathbb {H} } を適用した場合で、結果が等価となる場合である。

系の作用素を先に適用すると、次のようになる。

T r H x ~ = T r y ~ = y ~ r {\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}

シフト作用素を先に適用すると、次のようになる。

H T r x ~ = H x ~ r {\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}

従って、系が時不変なら次が成り立つ。

H x ~ r = y ~ r {\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}

関連項目