整拡大

可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。 本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

B を環、A をその部分環とする。b ∈ B が A 上整であるとは、

${\displaystyle b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dotsb +a_{1}b+a_{0}=0}$

を満たす自然数 n ≥ 1 と A の元 a₀, …, a_n−1 が存在することである。B の元がすべて A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大であるという。

B の元で A 上整であるものすべてのなす集合は B の部分環となり、これを B における A の整閉包という。B における A の整閉包が A 自身であるとき、A は B において整閉であるという。

A と B が体のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大、代数的閉包と呼ばれる。

• 整数環 Z 上整な有理数体 Q の元は整数しかない。言い換えると、Z は Z の Q における整閉包である。
• ガウス整数、すなわち ${\displaystyle a+b{\sqrt {-1}},a,b\in \mathbf {Z} }$ の形の複素数は、Z 上整である。${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]}$ が Z の ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})}$ における整閉包である。
• Z の ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {5}})}$ における整閉包は、${\displaystyle (a+b{\sqrt {5}})/2}$ の形の元からなる。ただし、a と b は整数であって、${\displaystyle a^{2}-5b^{2}}$ は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
• ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である^[1]。
• Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
• ${\displaystyle {\overline {k}}}$ が体 k の代数的閉包であれば、多項式環 ${\displaystyle {\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ は ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ 上整である。
• 有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき A は G によって固定される元の集合 A^G 上整である。ring of invariants を見よ。
• 任意の環において1の冪根と冪零元は Z 上整である。
• R を環とし、u を R を含む環における単位元とする。このとき^[2]

1. u⁻¹ が R 上整であるのは、u⁻¹ ∈ R[u] であるとき、かつそのときに限る。
2. ${\displaystyle R[u]\cap R[u^{-1}]}$ は R 上整である。

• 形式冪級数環 C[[x]] の、ローラン級数体 C((x)) の有限次拡大における整閉包は、${\displaystyle \mathbf {C} [[x^{1/n}]]}$ の形である(cf. ピュイズー級数)^[要出典]。
• 正規射影多様体 X の斉次座標環の整閉包は切断の環(ring of sections)である^[3]。

${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{n\geq 0}\operatorname {H} ^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n))}$

B を環とし、A をその部分環とする。このとき B の元 b について次は同値。

• b は A 上整
• 部分環 A[b] ⊂ B は A-加群として有限生成
• A[b] は有限生成 A-加群である部分環 C ⊂ B に含まれる
• 忠実な A[b]-加群 M で A 上有限生成なものが存在する
• 有限生成部分 A-加群 M ⊂ B が存在し、bM ⊂ M であり、M の B における零化イデアルは0

• 整閉整域
• 上昇定理

1. ^ Milne & ANT, Theorem 6.4
2. ^ Kaplansky, 1.2. Exercise 4.
3. ^ Hartshorne 1977, Ch. II, Excercise 5.14

• 堀田, 良之『可換環と体』岩波書店、2006年。ISBN 4-00-005198-9。 

• Kaplansky, Irving (September 1974). Commutative Rings. Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-42454-5 

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry（英語版）, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157 

• J. S. Milne, "Algebraic number theory." available at http://www.jmilne.org/math/