初等幾何学 における弓形 （ゆみがた、英 : circular segment ⌓ ）は、円板 から割線 または弦によって残りの部分から「切り取られる」部分を言う。より厳密には、円の劣弧（中心角が180°未満の弧）とその円弧 の両端点を結ぶ弦で囲まれた二次元 の領域を弓形という。
弓形(緑)は、割線/弦(破線)と弧(緑の領域の天井)で囲まれる: 扇形の高さ=半径 R は、弦からの高さ h と深さ d の和 円の半径 を R , 中心角は θ [rad] = α [°]長さ c および弧長 s と矢の長さ h および扇形の三角形部分の高さを d とする。
円の半径は R = h + d = h 2 + c 2 8 h {\displaystyle R=h+d={\frac {h}{2}}+{\frac {c^{2}}{8h}}}
後者の h と c で表された式は、2R （直径 の長さ）と c が互いに直交する弦の長さであることに注意すれば交弦定理（英語版） （方冪の定理 の特別の場合）から ( 2 R − h ) ⋅ h = c 2 ⋅ c 2 = c 2 4 ⟺ 2 R = c 2 4 h + h ⟺ R = c 2 8 h + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&(2R-h)\cdot h={\frac {c}{2}}\cdot {\frac {c}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\\&\iff 2R={\frac {c^{2}}{4h}}+h\\&\iff R={\frac {c^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}\end{aligned}}}
円弧の長さは s = α 180 π R = θ R = arcsin ( c h + ( c 2 / 4 h ) ) ( h + c 2 4 h ) {\displaystyle s={\frac {\alpha }{180}}\pi R=\theta R=\arcsin \!{\Big (}{\frac {c}{h+(c^{2}/4h)}}{\Bigr )}{\Bigl (}h+{\frac {c^{2}}{4h}}{\Bigr )}}
最後の逆正弦函数 arcsin を用いた式は、同じ弧を見込み一辺が直径となるような円周角 を考えることで導かれる。実際、円周角の大きさ は θ / 2 斜辺 が直径であるような直角三角形が作れる。このような設定は、以下で見るようなほかの逆三角函数公式を導くにも有用である。
さらに半角公式 やピタゴラス関係式 などを用いれば、弦長 c = 2 R sin θ 2 = R 2 − 2 cos θ = 2 R 1 − ( d / R ) 2 {\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=2R{\sqrt {1-(d/R)^{2}}}} h = R ( 1 − cos θ 2 ) = R − R 2 − c 2 4 {\displaystyle h=R{\Bigl (}1-\cos {\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}} θ = 2 arctan c 2 d = 2 arccos d R = 2 arccos ( 1 − h R ) = 2 arcsin c 2 R {\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {c}{2d}}=2\arccos {\frac {d}{R}}=2\arccos {\Bigl (}1-{\frac {h}{R}}{\Bigr )}=2\arcsin {\frac {c}{2R}}}
弓形の面積 A は扇形 の面積から、三角形部分の面積を引いて A = R 2 2 ( θ − sin θ ) = R 2 ( arcsin c 2 R − c 2 R 1 − ( c 2 R ) 2 ) {\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin \theta )=R^{2}{\Bigl (}\arcsin {\frac {c}{2R}}-{\frac {c}{2R}}{\sqrt {1-\left({\frac {c}{2R}}\right)^{2}\,}}\,{\Bigr )}} A = R 2 2 ( α π 180 − sin α ) {\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha \pi }{180}}-\sin \alpha {\Bigr )}}
円板全体の面積 S = πR 2 A S = 1 2 π ( θ − sin θ ) = α 360 − sin α 2 π {\displaystyle {\frac {A}{S}}={\frac {1}{2\pi }}(\theta -\sin \theta )={\frac {\alpha }{360}}-{\frac {\sin \alpha }{2\pi }}}
面積公式は、部分的に充填された円筒形の貯蔵タンクの体積を計算するのに用いることができる。
丸みのある天板を持つ窓やドアのデザインにおいて、c と h だけが分かっているという場面で、製図士がコンパスで R を計算することに利用できる。
弓形の弧長や弦長を測定して、弓形からもとの円板全体の完全な寸法を復元することができる。
円系パターンの穴の位置をチェックすること、特に機械製品の品質チェックに利用できる。
Weisstein, Eric W. "Circular Segment". mathworld.wolfram.com (英語). circular segment - PlanetMath .（英語） Ivanov, A.B. (2001), “Segment”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Segment Definition:Segment of Circle at ProofWiki Definition of a circular segment With interactive animation Formulae for area of a circular segment With interactive animation 
