安定ホモトピー理論

数学において、安定ホモトピー理論（あんていホモトピーりろん、Stable homotopy theory）とは、ホモトピー理論（したがって代数的トポロジー）の一分野で、懸垂を複数回適用した後に残る構造や現象を考える分野である。主な結果として、 Freudenthalの懸垂定理があり、これは、任意の点付き空間 ${\displaystyle X}$ が与えられたとき、ホモトピー群 ${\displaystyle \pi _{n+k}(\Sigma ^{n}X)}$ が十分に大きい${\displaystyle n}$で安定するということを述べている。特に、球面のホモトピー群 ${\displaystyle \pi _{n+k}(S^{n})}$ は ${\displaystyle n\geq k+2}$ で安定する 。例えば、

${\displaystyle \langle {\text{id}}_{S^{1}}\rangle =\mathbb {Z} =\pi _{1}(S^{1})\cong \pi _{2}(S^{2})\cong \pi _{3}(S^{3})\cong \cdots }$

${\displaystyle \langle \eta \rangle =\mathbb {Z} =\pi _{3}(S^{2})\to \pi _{4}(S^{3})\cong \pi _{5}(S^{4})\cong \cdots }$

上の2つの例では、ホモトピー群の間のすべての写像は懸垂の応用である。最初の例は、フレヴィッツの定理、 ${\displaystyle \pi _{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z} }$ の結果である。 2番目の例は、 Hopf写像 ${\displaystyle \eta }$ 、その懸垂 ${\displaystyle \Sigma \eta }$ への写像で、${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} /2}$ を生成する。