半単純リー環のルート系

群論 → リー群 リー群
古典群（英語版） 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) シンプレクティック Sp(n)
単純リー群 単純リー群一覧表（英語版） 古典型 An Bn Cn Dn 例外型 G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8（英語版）
他のリー群（英語版） 円周（英語版） ローレンツ ポワンカレ 共形（英語版） 微分同相写像 ループ（英語版）
リー環 指数写像 随伴表現 (群 環) キリング形式 指数（英語版） Lie point symmetry（英語版） 単純リー環
半単純リー環 ディンキン図形 カルタン部分環 ルート系 ワイル群 実形（英語版） 複素化（英語版） 分裂型リー環（英語版） コンパクトリー環（英語版）
等質空間 閉部分群（英語版） 放物型部分群（英語版） 対称空間（英語版） エルミート対称空間（英語版） 制限ルート系（英語版）
表現論 リー群表現 リー環表現
物理学におけるリー群 素粒子物理学と表現論（英語版） ローレンツ群表現（英語版） ポワンカレ群表現（英語版） ガリレイ群表現（英語版）
科学者 ソフス・リー アンリ・ポアンカレ ヴィルヘルム・キリング（英語版） エリ・カルタン ヘルマン・ワイル クロード・シュヴァレー ハリッシュ＝チャンドラ（英語版） アルマン・ボレル
リー群一覧表（英語版）
表 話 編 歴

数学において，被約抽象ルート系と半単純リー環の間には1対1の対応がある．ここで半単純リー環のルート系の構成，そして逆に，被約抽象ルート系からの半単純リー環の構成，が示される．

g を複素半単純リー環とする．さらに h を g のカルタン部分環とする．このとき h は g に随伴表現において同時対角化可能な線型写像として作用する．h* の元 λ に対して，部分空間 g_λ ⊂ g を

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }:=\{X\in {\mathfrak {g}}:[H,X]=\lambda (H)X{\text{ for all }}H\in {\mathfrak {h}}\}}$

で定義する．h* の零でない λ がルートであるとは，部分空間 g_λ が自明でないことをいう．このとき g_λ は λ のルート空間と呼ばれる．カルタン部分環の定義により g₀ = h が保証される．各ルート空間 g_λ は1次元であることを示すことができる^[1]．R をすべてのルートの集合とする．h の元は同時対角化可能であるから，次が成り立つ：

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in R}{\mathfrak {g}}_{\lambda }.}$

カルタン部分環 h は g 上のキリング形式から内積を引き継ぐ．これは h* 上の内積を誘導する．この内積について R は被約抽象ルート系であることを示すことができる^[2]．

E をユークリッド空間とし，R を E の被約抽象ルート系とする．さらに Δ を単純ルートたちのある選択とする．次の生成元と関係式で複素リー環を定義する．生成元：

${\displaystyle H_{\lambda },X_{\lambda },Y_{\lambda }{\text{ for }}\lambda \in \Delta ,}$

シュバレー・セール関係式（英語版）：

${\displaystyle {\begin{aligned}[][H_{\lambda },H_{\mu }]&=0{\text{ for all }}\lambda ,\mu \in \Delta ,\\\left[H_{\lambda },X_{\mu }\right]&=(\lambda ,\mu )X_{\mu },\\\left[H_{\lambda },Y_{\mu }\right]&=-(\lambda ,\mu )Y_{\mu },\\\left[X_{\mu },Y_{\lambda }\right]&=\delta _{\mu \lambda }H_{\mu },\\\mathrm {ad} _{X_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}X_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu ,\\\mathrm {ad} _{Y_{\lambda }}^{-(\mu ,\lambda )+1}Y_{\mu }&=0{\text{ for }}\lambda \neq \mu .\end{aligned}}}$

（ここで (λ, μ) で表されている係数はカルタン行列の係数で置き換えられなけるべきである．）生成されるリー環は半単純でありそのルート系は与えられた R に同型であることが分かる．

同型により，半単純リー環の分類は被約抽象ルート系を分類するいくぶん簡単な仕事に帰着される．

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Root system underlying a semi-simple Lie algebraの本文を含む

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer 
• V.S. Varadarajan, Lie groups, Lie algebras, and their representations, GTM, Springer 1984.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Coxeter group”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Coxeter_group 
• Weisstein, Eric W. "Coxeter group". mathworld.wolfram.com (英語).
• Jenn software for visualizing the Cayley graphs of finite Coxeter groups on up to four generators, http://www.jenn3d.org/index.html 
• Popov, V.L.; Fedenko, A.S. (2001), “Weyl group”, Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lie_algebra,_semi-simple