九点円錐曲線

幾何学において、九点円錐曲線（きゅうてんえんすいきょくせん^[1]^[2]^[3]^[4]、nine-point conic）または9点円錐曲線とは、ある4点に対して一意に決まる円錐曲線である。

1892年マクシム・ボッチャー（英語版）が4点が完全四辺形（英語版）を成す場合について研究した^[5]。それらはボッチャー円錐曲線と呼ばれたこともあった。九点円、九点双曲線（英語版）はボッチャー円錐曲線の例である。

△ABCと点Pについて、以下の9点を通る円錐曲線が存在する。この円錐曲線を九点円錐曲線と言う。

△ABCの各辺の中点

AP,BP,CPの中点

AP,BCの交点、BP,CAの交点、CP,ABの交点

Pが△ABCの内部または、二辺の外側にある場合、九点円錐曲線は楕円となる。そうでない場合は双曲線となる。ボッチャーはPが垂心であるとき、九点円錐曲線は九点円、Pが外接円上にあるときは直角双曲線になることを発見した。

1912年、モード・ミントホーン（Maud Minthorn）は、4点を通る円錐曲線の中心の軌跡が、その九点円錐曲線であることを示した^[6]。

出典

^ 齋藤輝（数理科学グループ）. “等角共役とシムソン線の幾何学～初等幾何における円錐曲線の活躍～”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年7月16日閲覧。
^ 宮本藤吉『平面解析幾何学 : 高等数学講義』博文館、1911年、179頁。doi:10.11501/828810。
^ 宮本藤吉『英和数学新字典』開新堂、1902年、61,196頁。doi:10.11501/826188。
^ サーモン著、小倉金之助訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年、264頁。doi:10.11501/952208。
^ Bocher, Maxime (1892). “On a Nine-Point Conic”. Annals of Mathematics 6 (5): 132–132. doi:10.2307/1967142. ISSN 0003-486X. https://www.jstor.org/stable/1967142.
^ “The nine-point conic” (英語). HathiTrust. 2024年3月29日閲覧。

Fanny Gates (1894) Some Considerations on the Nine-point Conic and its Reciprocal, Annals of Mathematics 8(6):185–8, link from Jstor.
Eric W. Weisstein Nine-point conic from MathWorld.
Michael DeVilliers (2006) The nine-point conic: a rediscovery and proof by computer from International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, a Taylor & Francis publication.
Christopher Bradley The Nine-point Conic and a Pair of Parallel Lines from University of Bath.

W. G. Fraser (1906) "On relations of certain conics to a triangle", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 25:38–41.
Thomas F. Hogate (1894) On the Cone of Second Order which is Analogous to the Nine-point Conic, Annals of Mathematics 7:73–6.
P. Pinkerton (1905) "On a nine-point conic, etc.", Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 24:31–3.