三重積 （さんじゅうせき）とは3次元ユークリッド空間 における3つのベクトル の積 であり、ベクトル解析 におけるスカラー三重積 とベクトル三重積 の総称である。
3つのベクトルによって定義される平行六面体 スカラー三重積 （英 : scalar triple product ）は三つのベクトルから擬スカラー 値を返す三項演算 、すなわち、2つのベクトルのクロス積 から作られる擬ベクトル と残りのベクトルとのドット積
a ⋅ ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} である。
幾何学的にはスカラー三重積は三つのベクトル a b c 平行六面体 の有向体積 (符号 のついた体積 ) を表す。
スカラー三重積が0でないなら、三つのベクトルは線形独立 である。スカラー三重積が0なら三つのベクトルは線形従属 であり、共面 (一つの平面に含まれる) となる。なぜなら、体積が0とは平行六面体が潰れていることを意味するからである。
代数学的にはスカラー三重積は各ベクトルを並べて作った3 × 3行列 の行列式 に等しい。
a ⋅ ( b × c ) = det ( a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ) = ∑ i , j , k ε i j k a i b j c k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})&=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}\\&=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}\end{aligned}}} ここで ε i,j,k エディントンのイプシロン である。これより、a b c 反対称 である。
また、以下の性質が成り立つ。
a ⋅ ( b × c ) = ( a × b ) ⋅ c ( ≡ [ a , b , c ] ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,\,(\equiv [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}])} [ a , b , c ] = [ b , c , a ] = [ c , a , b ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]} [ a , b , c ] [ x , y , z ] = det ( a ⋅ x a ⋅ y a ⋅ z b ⋅ x b ⋅ y b ⋅ z c ⋅ x c ⋅ y c ⋅ z ) ( ∵ det A det B = det ( A B T ) ) {\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}][{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}}]=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{pmatrix}}\qquad (\because \det A\det B=\det(AB^{T}))} 1番目の等式により順番だけが重要なので、スカラー三重積を [a b c
スカラー三重積は平行六面体の有向体積を与えるが、有向体積は鏡像変換に対して符号を変える。よって、スカラー三重積の値はスカラー でなく擬スカラー である。
スカラー三重積が正となる標構 (順序 付けられた基底)、もしくはそれから生成される座標系 、を右手系 とよび、負となる標構を左手系とよぶ。それぞれの系は鏡像変換を含まない直交変換 では互いに移ることはできない。
3-ベクトルは有向体積である。そのホッジ双対 は大きさが体積に等しい擬スカラーである。 外積代数 あるいは幾何代数（英語版） において、2つのベクトルの外積は2-ベクトル（英語版） であり、3つのベクトルの外積は3-ベクトル（英語版） である。通常のベクトルである1-ベクトルが向き付けられた線分 (線要素) であるように、2-ベクトルは向き付けられた面積要素 (面要素)であり、3-ベクトルは向き付けられた体積要素 (立体要素) である。
ベクトル a b c
a ∧ b ∧ c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\wedge {\boldsymbol {b}}\wedge {\boldsymbol {c}}} はそのホッジ双対 がスカラー三重積に等しい3-ベクトルである。 幾何学的には3-ベクトル a b c a b c a b b c a c
ベクトル三重積 （英 : vector triple product ）は三つのベクトルからベクトル値を返す三項演算、すなわち、2つのベクトルのクロス積から作られる擬ベクトルと残りのベクトルとのクロス積
a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} であり、以下の性質が成り立つ:
a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}){\boldsymbol {c}}} ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}} a × ( b × c ) + b × ( c × a ) + c × ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})+{\boldsymbol {b}}\times ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {c}}\times ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0} 1番目および2番目の公式はラグランジュ の公式と呼ばれることもあるが[1]
a × ( b × c ) ≠ ( a × b ) × c {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\neq ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}} すなわち、クロス積は結合則 が成り立たないことが導かれる。3番目の公式はヤコビ恒等式 (英 : Jacobi Identity ) であり、1番目の公式より明らかである。
ベクトル三重積の公式をつかってベクトルラプラシアン を
▽ 2 f = grad ( div f ) − rot ( rot f ) ∵ ∇ × ( ∇ × f ) = ∇ ( ∇ ⋅ f ) − ( ∇ ⋅ ∇ ) f {\displaystyle {\begin{aligned}\bigtriangledown ^{2}{\boldsymbol {f}}&=\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\boldsymbol {f}})-\operatorname {rot} (\operatorname {rot} {\boldsymbol {f}})\\\because \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {f}})&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})-(\nabla \cdot \nabla ){\boldsymbol {f}}\end{aligned}}} と展開できる。これは一般化されたラプラス作用素 (ラプラス–ド・ラーム作用素（英語版） ) Δ = d δ + δ d {\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}
a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} x 成分を展開する。
{ a × ( b × c ) } x = a y ( b × c ) z − a z ( b × c ) y = a y ( b x c y − b y c x ) − a z ( b z c x − b x c z ) = ( a y b x c y + a z b x c z ) − ( a y b y c x + a z b z c x ) = b x ( a x c x + a y c y + a z c z ) − c x ( a x b x + a y b y + a z b z ) = { b ( a ⋅ c ) − c ( a ⋅ b ) } x {\displaystyle {\begin{aligned}\{{\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})\}_{x}&=a_{y}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{z}-a_{z}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{y}\\&=a_{y}(b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x})-a_{z}(b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z})\\&=(a_{y}b_{x}c_{y}+a_{z}b_{x}c_{z})-(a_{y}b_{y}c_{x}+a_{z}b_{z}c_{x})\\&=b_{x}(a_{x}c_{x}+a_{y}c_{y}+a_{z}c_{z})-c_{x}(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})\\&=\{{\boldsymbol {b}}\,({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})-{\boldsymbol {c}}\,({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\}_{x}\end{aligned}}} y 成分、z 成分も同様なので、これより証明された。
その他の証明1
( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}} を証明する。
a b a b
スカラー三重積の反対称性より
a ⋅ ( a × b ) = 0 , b ⋅ ( a × b ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0,\,{\boldsymbol {b}}\cdot ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})=0} すなわち、a b a b a b c a b a b c a b a b a b c a b a b a b μ , ν を未定のスカラーとして
( a × b ) × c = μ a + ν b {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=\mu {\boldsymbol {a}}+\nu {\boldsymbol {b}}} と書ける。
また、 (a b c c
0 = μ ( a ⋅ c ) + ν ( b ⋅ c ) {\displaystyle 0=\mu ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})+\nu ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})} よって
μ = − λ ( b ⋅ c ) ν = λ ( a ⋅ c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=-\lambda ({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\\\nu &=\lambda ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\end{aligned}}} とおけ、
( a × b ) × c = λ { ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a } {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=\lambda \left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}} と書ける。ただし、λ は a b c
ここで (a b c a c b b c a a b c λ は定数でなければいけない。更に a e x b e y c e x λ = 1が得られる。
よって
( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}} が導かれた。
その他の証明2
ビネ・コーシーの恒等式
( ∑ i = 1 n a i c i ) ( ∑ j = 1 n b j d j ) − ( ∑ i = 1 n a i d i ) ( ∑ j = 1 n b j c j ) = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) ( c i d j − c j d i ) {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})} を既知とすれば、スカラー四重積の公式
( a ⋅ c ) ( b ⋅ d ) − ( a ⋅ d ) ( b ⋅ c ) = ( a × b ) ⋅ ( c × d ) {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {d}})-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {d}})({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {c}}\times {\boldsymbol {d}})} が得られるが、スカラー三重積の性質を使って変形すれば
{ ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a } ⋅ d = { ( a × b ) × c } ⋅ d {\displaystyle \left\{({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}\right\}\cdot {\boldsymbol {d}}=\{({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}\}\cdot {\boldsymbol {d}}} ∴ ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a {\displaystyle \therefore ~({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}}){\boldsymbol {a}}} となる。
その他の証明3
エディントンのイプシロン を使うと三重積は以下のように計算できる。
( a × ( b × c ) ) i = ∑ j , k ε i j k a j ( b × c ) k = ∑ j , k ε i j k a j ( ∑ ℓ , m ε k ℓ m b ℓ c m ) = ∑ j , ℓ , m ( δ i ℓ δ j m − δ i m δ j ℓ ) a j b ℓ c m ( ∵ ∑ k ε i j k ε k ℓ m = δ i ℓ δ j m − δ i m δ j ℓ ) = ( a ⋅ c ) b i − ( a ⋅ b ) c i {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))_{i}&=\sum _{j,k}\varepsilon _{ijk}a_{j}({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})_{k}\\&=\sum _{j,k}\varepsilon _{ijk}a_{j}\left(\sum _{\ell ,m}\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m}\right)\\&=\sum _{j,\ell ,m}(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })a_{j}b_{\ell }c_{m}\qquad (\because ~\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{i}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{i}\end{aligned}}}
アインシュタインの縮約記法 を使えば ベクトル三重積は jij -jji と覚えることができる。
( a × ( b × c ) ) i = ε i j k ε k ℓ m a j b ℓ c m = ( δ i ℓ δ j m − δ i m δ j ℓ ) a j b ℓ c m = a j b i c j − a j b j c i = ( a ⋅ c ) b i − ( a ⋅ b ) c i {\displaystyle {\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}}))_{i}&=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })a_{j}b_{\ell }c_{m}\\&=a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\&=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})b_{i}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})c_{i}\end{aligned}}}
[脚注の使い方 ]
^ Kiyoshi Itō (1993). “§C: Vector product”. Encyclopedic dictionary of mathematics (2nd ed.). MIT Press. p. 1679. ISBN 0-262-59020-4. https://books.google.co.jp/books?id=azS2ktxrz3EC&pg=PA1679&redir_esc=y&hl=ja
小野寺嘉孝『なっとくするベクトル』講談社、2001年4月。ISBN 978-4-06-154533-5。 北野正雄『マクスウェル方程式 電磁気学のよりよい理解のために』サイエンス社、2009年2月。ISBN 978-4-7819-1222-6。 丸山祐一、喜多義範『理工系 ベクトル解析』共立出版、2003年9月。ISBN 978-4-320-01743-6。 Gibbs, Josiah Willard; Wilson, Edwin Bidwell (1901), Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics , Scribner, https://archive.org/details/vectoranalysiste00gibbiala
『スカラー三重積』 - コトバンク 『ベクトル三重積』 - コトバンク 『スカラー三重積とベクトル三重積』 - 高校数学の美しい物語 Weisstein, Eric W. "Scalar Triple Product". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Vector Triple Product". mathworld.wolfram.com (英語). 
![{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,\,(\equiv [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc82eae50aa056d4f2ed28d8e1bfdaa0635120a)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}]=[{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}}]=[{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93e63250f74066e171d37f374379fa5fd984516e)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}}][{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}}]=\det {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{pmatrix}}\qquad (\because \det A\det B=\det(AB^{T}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e0a288dfb4de746365aa23e7d485ba5ae0ede7)
