ランプ関数のグラフ ランプ関数(英: ramp function)とは、一変数の実関数であり、独立変数とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数。
この関数は工学において(DSPの理論など)応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路(英: ramp)に似ていることに由来する。
定義
ランプ関数 R(x) : R → R には幾つかの同値な定義が存在する。
- 場合分け
![{\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dc56ee4c9f9b97b6c10f4088209b9226c75ff5)
- 指数 1 の切断冪関数
![{\displaystyle R(x):=x_{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426ed3eb3bace1ed060e2589e4db28c268c45fcb)
- 最大値関数
![{\displaystyle R(x):=\max(x,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dfb4abdefff2d1712f5d3da7c57a346ec34cc3)
- 傾きが1の直線とその絶対値との平均[1]
![{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1c2666eac214ba744f81979748645f66b92bbd)
- 傾きが1の直線とヘビサイド関数との積
![{\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697e5d87f11c28d0c612bde99dd1833dc217b5ac)
- ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み
![{\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20a6e9ba10c03acca60c4979c5fb0bef5b300e0)
- ヘビサイド関数の積分
![{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f90a8a69f5b22038b6c959ab32cf9c92c71df3)
- マコーレーの括弧
![{\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35e32f7e8ef8d65580476c476afccddce4cbcc6f)
解析的性質
非負性
ランプ関数は定義域全体で非負となる。
![{\displaystyle \forall x\in \mathbf {R} :R(x)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd44140efa21c68d7e4fec4ad0a315f1319bd8b)
そのため、関数の値はその絶対値に等しい。
![{\displaystyle |R(x)|=R(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7907c47f17346aae5de54e6e618b9b45347ff06)
導関数
ランプ関数の導関数はヘビサイド関数に等しい。
![{\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eff766af2d6bb2c23a3ac853589b37ef63e4a0d)
二階導関数
ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し δ(x) はディラックのデルタ関数である。
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314bd7c99b33a8b21234dac4ab98b83f82d23744)
これは、R(x) が二階微分作用素のグリーン関数であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 f′′(x) を持つ任意の関数 f(x) は、a < x < b のとき次の方程式を満たす。
![{\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\operatorname {d} s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ca49834d327a9bf9e09b436fe2fc0f360390ef)
フーリエ変換
ランプ関数のフーリエ変換は次の通りとなる。
![{\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c38693e088af2f8cbc82380dbf62451da7db034)
ここで δ(x) は ディラックのデルタ関数(式中では導関数が使用されていることに注意)。
ラプラス変換
ランプ関数の片側ラプラス変換は次の通りとなる。
![{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6580a930db9227e102e99e5ef3deaa921af4db)
代数的性質
冪等性
ランプ関数の任意の反復合成はランプ関数に等しい。[2]
![{\displaystyle R(R(x))=R(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b2ace82579ce91587eafe27ff0742f1ddde867)
脚注
- ^ これは max(a,b) が次のように定義できることによる。
![{\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb0c55bcc80c21afb1d4947412d60376e05bff6)
これを最大値関数による定義 R(x) := max(x,0) に代入すればよい。 - ^ 次の証明には非負性が用いられている。
![{\displaystyle R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dc9d9dab621851a8dcf782213b4b6edc09bb61)
外部リンク
Weisstein, Eric W. "Ramp Function". mathworld.wolfram.com (英語).