ベッポ・レヴィ空間

関数解析学におけるベッポ・レヴィ空間（ベッポ・レヴィくうかん、英: Beppo-Levi space）とは超関数の空間である。名前はベッポ・レヴィ（英語版）に因む。

D' をシュワルツ超関数の空間、S' を Rn 上の緩増加超関数の空間、 α を多重指数、Dα を多重指数記法による微分作用素、ˆv を v のフーリエ変換とする。 |·|r, p, Ω をソボレフ半ノルムとして、ベッポ・レヴィ空間 ·W r, p(Ω) は次のように定義される。

W ˙ r , p ( Ω ) = { v ∈ D ′ ( Ω ) : | v | r , p , Ω < ∞ } . {\displaystyle {\dot {W}}^{r,p}(\Omega )=\{v\in D'(\Omega ):|v|_{r,p,\Omega }<\infty \}.}

あるいは別の定義として、

− m + n 2 < s < n 2 {\displaystyle -m+{\frac {n}{2}}<s<{\frac {n}{2}}}

を満たす m ∈ N, s ∈ R について、

H s = { v ∈ S ′ | v ^ ∈ L loc 1 ( R n ) , ∫ R n | ξ | 2 s | v ^ ( ξ ) | 2 d ξ < ∞ } {\displaystyle H^{s}=\{v\in S'|{\hat {v}}\in L_{\text{loc}}^{1}(R^{n}),\int _{R^{n}}|\xi |^{2s}|{\hat {v}}(\xi )|^{2}\,d\xi <\infty \}}

としたとき、ベッポ・レヴィ空間 X m, s は以下のように定義される。

X m , s = { v ∈ D ′ | ∀ α ∈ N n , | α | = m , D α v ∈ H s } . {\displaystyle X^{m,s}=\{v\in D'|\forall \alpha \in N^{n},|\alpha |=m,D^{\alpha }v\in H^{s}\}.}

参考文献

  • Wendland, Holger (2005). Scattered Data Approximation. Cambridge University Press .
  • Arcangéli, Rémi; López de Silanes, María Cruz; Torrens, Juan José (2007-08). “An extension of a bound for functions in Sobolev spaces, with applications to (m,s)-spline interpolation and smoothing”. Numerische Mathematik 107 (2): 181-211. doi:10.1007/s00211-007-0092-z. 
  • Arcangéli, Rémi; López de Silanes, María Cruz; Torrens, Juan José (2009-11). “Estimates for functions in Sobolev spaces defined on unbounded domains”. Journal of Approximation Theory 161 (1): 198–212. doi:10.1016/j.jat.2008.09.001. 

関連項目