フォイエルバッハ双曲線

幾何学において、フォイエルバッハ双曲線（ふぉいえるばっはそうきょくせん、英:Feuerbach hyperbola）は三角形の頂点、垂心、内心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ミッテンプンクト、シフラー点などを通る直角双曲線である。その中心は内接円と九点円の接点、フォイエルバッハ点である^[1]。

フォイエルバッハ双曲線は三線座標(α:β:γ)によって以下の式で表される^[2]。

${\displaystyle {\frac {\cos B-\cos C}{\alpha }}+{\frac {\cos C-\cos A}{\beta }}+{\frac {\cos A-\cos B}{\gamma }}=0}$

ここで${\displaystyle A,B,C}$ は三角形の角の大きさである。

• 三角形${\displaystyle ABC}$の頂点と垂心を通る双曲線は直角双曲線となり、九点円上に中心を持つ（ポンスレ束）^[3]。
• 内心${\displaystyle I}$を通る接線は${\displaystyle OI}$線である。
• 接線三角形のフォイエルバッハ双曲線はシュタムラー双曲線（Stammler Hyperbola）という^[4]。シュタムラー双曲線の中心はキーペルト放物線の焦点である。シュタムラー双曲線は内心と傍心、外心、類似重心、パリー鏡映点などを通る。

フォイエルバッハ双曲線は${\displaystyle OI}$線（外心と内心を通る直線^[5]）の等角共役の軌跡としても定義される^[6]。有名点では、内心は自身、垂心は外心、ナーゲル点は混線内接円と外接円の接点が成す三角形との配景中心（外接円と内接円の外相似点）、ジェルゴンヌ点は外接円と内接円の内相似点の等角共役である。

フォイエルバッハ双曲線上の点の垂足円はフォイエルバッハ点を通る（グリフィスの定理または第二フォントネーの定理の系）。

三角形${\displaystyle ABC}$について、内接円と${\displaystyle A,B,C}$の対辺の接点をそれぞれ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$とする。${\displaystyle IA_{1},IB_{1},IC_{1}}$上にある点${\displaystyle X,Y,Z}$が${\displaystyle IX=IY=IZ}$となるようにとる。このとき${\displaystyle AX,BY,CZ}$は共点である。これを刈屋の定理（Kariya's theorem）といい、その点を刈屋点と言う。名称は刈屋他人次郎に由来する^[7][8]。刈屋点はフォイエルバッハ双曲線上にある。

刈屋の定理は長い歴史を持つ^[9]。 刈屋の定理はAuguste BoutinとV. Retaliが証明するより前に刈屋の論文によって発表されていた^{[10][11][12][13]}。現代では、刈屋の定理が一般化されてフォイエルバッハ双曲線となっている。

また、ルモワーヌの定理（キーペルト双曲線に関する定理）と刈屋の定理はともにヤコビの定理の系である。

• キーペルト双曲線
• ジェラベク双曲線
• 外接円錐曲線
• 三角形の二次曲線

1. ^ Boucher, H. (1893). “Essai de classification sur les races gallines”. Annales de la Société linnéenne de Lyon 40 (1): 89–100. doi:10.3406/linly.1893.4047. ISSN 1160-6398. http://dx.doi.org/10.3406/linly.1893.4047. 
2. ^ Parry, C. F. (2001). “Triangle centers and central triangles, by Clark Kimberling (Congress Numerantium Vol. 129) Pp. 295. $42.50 1998. Template:Text 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg).”. The Mathematical Gazette 85 (502): 172–173. doi:10.2307/3620531. ISSN 0025-5572. JSTOR 3620531. http://dx.doi.org/10.2307/3620531. 
3. ^ 齋藤 輝. “等角共役とシムソン線の幾何学”. 角川ドワンゴ学園 N/S 高等学校研究部. 2024年5月5日閲覧。
4. ^ Weisstein, Eric W.. “Stammler Hyperbola” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年5月19日閲覧。
5. ^ “CENTRAL LINES”. faculty.evansville.edu. 2024年5月4日閲覧。
6. ^ Rigby, J. F. (1973). “A concentrated dose of old-fashioned geometry”. The Mathematical Gazette 57 (402): 296–298. doi:10.2307/3616051. ISSN 0025-5572. JSTOR 3616051. http://dx.doi.org/10.2307/3616051. 
7. ^ “CiNii Books 著者 - 刈屋, 他人次郎”. ci.nii.ac.jp. 2024年7月15日閲覧。
8. ^ 『初等幾何學 第1卷 平面之部 訂正4版』山海堂、1919年、623頁。doi:10.11501/1082035。 
9. ^ “Problems and Solutions”. The American Mathematical Monthly 119 (8): 699. (2012). doi:10.4169/amer.math.monthly.119.08.699. https://www.tandfonline.com/doi/full/10.4169/amer.math.monthly.119.08.699. 
10. ^ Kahane, J. (1961). “Problèmes et remarques sur les carrés de convolution”. Colloquium Mathematicum 8 (2): 263–265. doi:10.4064/cm-8-2-263-265. ISSN 0010-1354. 
11. ^ Humbert, G. (1890). “Sur les coniques inscrites à une quartique”. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 4 (3): 1–8. doi:10.5802/afst.55. ISSN 0996-0481. 
12. ^ “Periodico di Matematica per ľinsegnamento secondario”. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 3 (2): 56. (1889). doi:10.1007/bf03017173. ISSN 0009-725X. http://dx.doi.org/10.1007/bf03017173. 
13. ^ Kariya, J. (1904). “Un probleme sur le triangle”. L'Enseignement Mathématiques 6: 130–132, 236, 406. https://archive.org/details/lenseignementmat06inte/page/130/mode/2up?view=theater. 

• Feuerbach Hyperbola, MathWorld