バーチの定理

数学において、バーチの定理（英: Birch's theorem）^[1]とは、奇数次形式における 0 の表現可能性に関する定理である。定理の名前はブライアン・バーチにちなむ。

K を代数体、k, l, n を自然数、r₁, . . . ,r_k を奇数の自然数とし、f₁, . . . ,f_k を n 変数で次数がそれぞれ r₁, . . . ,r_k の K 係数斉次多項式とする。ここで、

${\displaystyle n\geq \psi (r_{1},\ldots ,r_{k},l,K)}$

を満たすならば、Kⁿ の l 次元部分ベクトル空間 V が存在して

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0,\quad \forall x\in V}$

を満たすような、ある数 ψ(r₁, . . . ,r_k,l,K) が存在する。

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定理の証明は形式 f₁, . . . ,f_k の最大次数についての帰納法による。証明に本質的なのは定理の次の特別な場合であり、これはハーディ・リトルウッドの円周法（英語版） を適用して証明できる： n が十分大きく r が奇数であれば、方程式

${\displaystyle c_{1}x_{1}^{r}+\cdots +c_{n}x_{n}^{r}=0,\quad c_{i}\in \mathbb {Z} ,i=1,\ldots ,n}$

は「すべてが 0」ではない整数解 x₁, . . . ,x_n を持つ。

r が奇数という制限は必要である。なぜならば正定値二次形式のように偶数次形式では、原点でしか 0 の値を取らないことがあるからである。

1. ^ B. J. Birch, Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables, Mathematika, 4, pages 102–105 (1957)