ジュリア集合

複素力学系におけるジュリア集合（ジュリアしゅうごう、英: Julia set）は、ある複素関数の反復で無限遠に行かない出発点から成る集合の境界として定義される複素平面上の集合である^[1]。より技術的・標準的には、ジュリア集合は反復の族が正規ではない点の集合として定義される^[2][3]。たいていのジュリア集合はフラクタルと呼ばれる図形になる^[4][5]。名称は、20世紀初頭に複素関数の反復を研究したガストン・ジュリアに因む^[6]。

f をリーマン球面 ˆC からそれ自身への正則関数 f : ˆC → ˆC とする。f の n 回反復合成を f ⁿ(z) と表すとする。点 z ∈ ˆC のある近傍 U(z) ⊂ ˆC 上で、族 {f ⁿ|_U}∞
n=1 が正規族となるとき、このような点全体の集合をファトゥ集合と呼ぶ^[7]。f のファトゥ集合を F_f と表すとする。ジュリア集合はファトゥ集合の補集合として定義される。すなわち、f のジュリア集合を J_f と表せば

${\displaystyle J_{f}={\hat {\mathbf {C} }}\setminus F_{f}}$

である^[8]。

上記のジュリア集合の定義は、有理関数や有理型関数などの一般の複素関数論の中で使われ、応用範囲も広い^[9]。他方、反復する複素関数を多項式として次のようにジュリア集合を定義することもある。P を2次以上の複素多項式 P(z) = a_nzⁿ + a_n−1zⁿ⁻¹ + … + a₀ とする。係数 a_n, a_n−1 … a₀ も複素数である。まず、複素平面 C からそれ自身への多項式関数 P : C → C の充填ジュリア集合 K_P を

${\displaystyle K_{P}=\left\{z\in \mathbf {C} |\lim _{n\rightarrow \infty }P^{n}(z)\nrightarrow \infty \right\}}$

と定義する。ジュリア集合は充填ジュリア集合の境界として定義される。すなわち、P のジュリア集合を J_P と表せば

${\displaystyle J_{P}=\partial K_{P}}$

である^[10][11]。

定義よりファトゥ集合は開集合なので、ジュリア集合は閉集合である^[8][12]。以下、関数 f を超越整関数または2次以上の有理関数とする。ジュリア集合 J_f は空集合ではない^[13]。また、J_f は完全集合である。すなわち、J_f は孤立点を持たない^[13]。さらに、ジュリア集合は完全不変である。すなわち、f (J) ⊂ J かつ f ⁻¹(J) ⊂ J が成り立つ^[14][12]。

ジュリア集合 J_f は、J_f が C または ˆC と一致しなければ、内点を持たない^[15]。f が多項式関数のときは、J_f は常に内点を持たない^[16]。

• 上田 哲生・谷口 雅彦・諸沢 俊介、1995、『複素力学系序説 ―フラクタルと複素解析―』初版、培風館 ISBN 4-563-00585-1
• 志賀 啓成、2023、「複素力学系」、『幾何学百科Ⅲ 力学系と大域幾何』初版、朝倉書店 ISBN 978-4-254-11618-2
• Kenneth Falconer、服部 久美子・村井 浄信（訳）、2006、『フラクタル幾何学』、共立出版〈新しい解析学の流れ〉 ISBN 4-320-01801-X
• ケネス・ファルコナー、服部 久美子（訳）、2020、『フラクタル』、岩波書店〈岩波科学ライブラリー291〉 ISBN 978-4-00029691-5
• Robert L. Devaney、國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）、後藤 憲一（訳）、2003、『カオス力学系入門』新訂版、共立出版 ISBN 4-320-01705-6
• デニー・グーリック、前田 恵一・原山 卓久（訳）、1995、『カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ』初版、産業図書 ISBN 4-7828-1009-1
• 宇敷 重広、1987、『フラクタルの世界 ―入門・複素力学系―』第1版、日本評論社 ISBN 4-535-78159-1

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• Julia set - Encyclopedia of Mathematics
• Julia Set - MathWorld

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーの三角形 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
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