グラスマン数

数理物理学において、グラスマン数（グラスマンすう、英: Grassmann number）とは複素数を含む外積代数の要素を指し、ヘルマン・グラスマンに因んで名付けられた^[1]。具体的には、以下のような反交換関係を満たす数のことで^[2]、ψ を使って表す。

${\displaystyle \psi _{a}\psi _{b}=-\psi _{b}\psi _{a}}$

${\displaystyle \psi ^{2}=0}$

またグラスマン数の微分も、反交換関係を満たす。

${\displaystyle \int \mathrm {d} \psi \psi =-\int \psi \mathrm {d} \psi =1}$

${\displaystyle \int \mathrm {d} \psi 1=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \psi _{a}}}\psi _{a}\psi _{b}=-{\frac {\partial }{\partial \psi _{a}}}\psi _{b}\psi _{a}=\psi _{b}{\frac {\partial }{\partial \psi _{a}}}\psi _{a}=\psi _{b}}$

グラスマン数 ψ に共役なグラスマン数 ψ^* は以下のように定義される。

${\displaystyle \psi \psi ^{*}=-\psi ^{*}\psi }$

グラスマン数は、場の量子論や多体問題においてフェルミ粒子の経路積分を定義する時に用いられる。場の量子論や多体系では、ボース粒子の生成消滅演算子の固有値は複素数であるが、フェルミ粒子の生成消滅演算子の固有値はグラスマン数である^[3]。

• DeWitt, Bryce (June 26, 1992). Supermanifolds. Cambridge Monographs on Mathematical Physics (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-42377-5. NCID BA1704503X. OCLC 488824898 
• 西川, 恭治、森, 弘之『統計物理学』朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、2000年5月10日。ASIN 4254136803。ISBN 978-4254136807。 NCID BA46592047。OCLC 54566725。全国書誌番号:20067814。 
• 柏, 太郎『経路積分-例題と演習-』裳華房〈量子力学選書〉、2015年11月17日。ASIN 4785325135。ISBN 978-4-7853-2513-8。 NCID BB19993144。OCLC 930339513。全国書誌番号:22666884。