代数トポロジーにおいて、キャップ積(英: cap product)は次数 p のチェイン(英語版)と次数 q ≤ p のコチェインから次数 p − q の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年にEduard Čech(英語版)により、1938年にHassler Whitney(英語版)により独立に導入された。
定義
X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像
![{\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e69e764e97bcfad5c24ce99ddc060cf0185c7d2)
であって以下のように定義される。特異チェイン
と特異コチェイン
に対し
![{\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f038947805fddedd2074b1ee49f7acced3b36a0)
とする。ここで、表記
は単体写像
の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。単体(英語版)を参照。
Equations
キャップ積のバウンダリは次で与えられる:
![{\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0feecf0d951a1d1dbbc77b76f7349ef1526032)
写像 f が与えられると誘導された写像は次を満たす:
![{\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac43892fb9e49906a54931f36067d82b83e900b0)
キャップ積とカップ積は次で関係づけられる:
![{\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2d6db65c89a7323bb15a4084848661ca8cdae9)
ただし
,
and ![{\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae261bff88d951ef9f54b912a46e311ba437275)
最後の式の面白い結果として、
は右
加群になる。
関連項目
参考文献
- Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
- slant product in nLab