Varietà simplettica

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In matematica una varietà simplettica è una varietà differenziabile liscia munita di una 2-forma chiusa non degenere ${\displaystyle \omega }$, definita forma simplettica. Lo studio delle varietà simplettiche è denominato geometria simplettica. Esso deriva dalle formulazioni astratte della meccanica classica e della meccanica analitica, come il fibrato cotangente di una varietà, ad esempio nella riformulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Una qualsiasi funzione differenziabile, ${\displaystyle H}$, a valori reali che lavora su una varietà simplettica fa da hamiltoniana o funzione energia. Ad ogni hamiltoniana è associato un campo vettoriale hamiltoniano; i moti naturali del sistema hamiltoniano sono soluzioni delle equazioni di Hamilton-Jacobi. Tramite il campo hamiltoniano è possibile definire un flusso sulla varietà simplettica, chiamato simplettomorfismo o flusso hamiltoniano. Per il teorema di Liouville, il flusso hamiltoniano preserva la forma volume sullo spazio delle fasi.

Una forma simplettica su una varietà ${\displaystyle M}$ è una 2-forma differenziale non degenere chiusa, ${\displaystyle \omega }$. La coppia ${\displaystyle (M,\omega )}$ si chiama varietà simplettica. Chiariamo la definizione, con il termine non degenere intendiamo che data una base ${\displaystyle X_{i}}$ dello spazio tangente di ${\displaystyle M}$ in un punto, la matrice

${\displaystyle \Omega _{ij}=\omega (X_{i},X_{j})}$

è invertibile (il determinante è diverso da 0). La richiesta di ${\displaystyle \omega }$ chiusa significa che

${\displaystyle d\omega =0}$

dove ${\displaystyle d}$ è la derivata esterna.

Notiamo come la richiesta di non degenerazione imponga la parità della dimensione di una varietà simplettica; infatti ${\displaystyle \Omega }$ è antisimmetrica, ossia ${\displaystyle \Omega _{ij}=-\Omega _{ji}}$, per cui l'invertibilità della matrice implica la parità delle sue righe (e colonne).^[1]

Consideriamo una varietà simplettica ${\displaystyle (M,\omega )}$ con un sistema di coordinate, o una carta, denotata con la notazione ${\displaystyle x^{i}}$ dove ${\displaystyle i=1,\ldots ,2n}$.

Una carta ${\displaystyle x^{i}}$ si dice canonica, o sistema di coordinate canonico se accade che

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dx^{n+i}\wedge dx^{i}}$

spesso per il sistema di coordinate canonico si usa la notazione classica ponendo ${\displaystyle x^{i}=q^{i}}$ e ${\displaystyle p_{i}=x^{n+i},}$ con ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$ cosicché la forma simplettica si riscrive (usando la notazione di Einstein)

${\displaystyle \Omega =dp_{i}\wedge dq^{i}.}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Darboux (geometria).

Ogni varietà simplettica possiede un atlante formato da sistemi di coordinate canonici.

La varietà simplettica standard è ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, siano ${\displaystyle x^{i},}$ con ${\displaystyle i=1,\ldots ,2n,}$ le coordinate cartesiane su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$, con la forma simplettica data da

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dx^{i}\wedge dx^{n+i}}$

e in forma matriciale

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}.}$

Questa particolare struttura simplettica è importante perché il teorema di Darboux dice che tutte le varietà simplettiche sono localmente isomorfe alla varietà simplettica standard.^[1]

Data una varietà simplettica ${\displaystyle (M,\omega )}$ di dimensione ${\displaystyle 2n}$, di particolare importanza sono le sottovarietà lagrangiane. Una sottovarietà lagrangiana è definita come una sottovarietà ${\displaystyle L\subset M}$ di dimensione ${\displaystyle n}$ tale che ${\displaystyle \omega }$ è identicamente zero su ogni spazio tangente ad ${\displaystyle L}$. Vi sono numerosi esempi di sottovarietà lagrangiane, come la sezione zero del fibrato cotangente ${\displaystyle T^{*}Q}$ di una varietà ${\displaystyle Q}$ e il grafico di un simplettomorfismo ${\displaystyle M\to N}$ inteso come una sottovarietà di ${\displaystyle M\times N}$ con un'adeguata forma simplettica. Tale ubiquità le rende uno dei principali oggetti di studio della geometria simplettica, al punto che un motto di Alan Weinstein è "qualsiasi cosa è una sottovarietà lagrangiana".^[1]

Una varietà simplettica ${\displaystyle (M,\omega )}$ possiede una forma volume indotta in maniera naturale dalla sua struttura, più precisamente dalla 2-forma.

Si definisce forma volume simplettico, o la forma di Liouville indotta da ${\displaystyle \omega }$ la

${\displaystyle \Xi _{\omega }\equiv \xi :={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{n!}}\wedge ^{n}\omega .}$

Utilizzando un sistema di coordinate canonico, che esiste sempre per il teorema di Darboux, la forma di Liouville assume l'aspetto

${\displaystyle \xi :=dq^{1}\wedge \cdots \wedge dq^{n}\wedge dp_{1}\wedge \cdots \wedge dp_{n}.}$

1. Siccome tutte le forme volume inducono un'orientazione su una varietà anche ${\displaystyle \xi }$ porta un'orientazione sulla varietà simplettica che viene chiamata anche l'orientazione naturale di ${\displaystyle M}$.
2. La forma volume di Liouville induce una misura positiva sui borelliani di ${\displaystyle M}$. Definita

${\displaystyle |{\mathcal {B}}|=\int _{(q,p)({\mathcal {B}})}dq^{1}\cdots dq^{n}dp_{1}\cdots dp_{n},}$

dove ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ è un borelliano di ${\displaystyle M}$ e si è usato il sistema di coordinate canonico.

Sia ${\displaystyle (M,\omega )}$ una varietà simplettica e ${\displaystyle H}$ una funzione scalare su ${\displaystyle M.}$

Chiamiamo gradiente simplettico di ${\displaystyle h}$ il campo vettoriale ${\displaystyle X}$ su ${\displaystyle M}$ definito come l'unico campo vettoriale tale che

${\displaystyle \omega (X,\cdot )=-dH,}$

dove ${\displaystyle dH}$ è il differenziale di ${\displaystyle H}$.^[1]

Notiamo che

${\displaystyle \omega (X,\cdot )\colon TM\to T^{*}M}$

è biettiva per via della non degenerazione di ${\displaystyle \omega ,}$ allora è possibile definire un'applicazione inversa

${\displaystyle I\colon T^{*}M\to TM}$

che prende il nome di tensore di Poisson tale che

${\displaystyle \omega (I\alpha ,\cdot )=\alpha ,}$

dove ${\displaystyle \alpha \in T^{*}M}$.

Grazie a questo nuovo operatore il gradiente simplettico si può riscrivere come ${\displaystyle X=IdH}$ che prende anche il nome di campo vettoriale hamiltoniano e la relativa equazione differenziale associata prende il nome di equazione di hamilton di hamiltoniana ${\displaystyle h}$.

La terna ${\displaystyle (M,\omega ,H)}$ si chiama sistema hamiltoniano, e la varietà simplettica ${\displaystyle (M,\omega )}$ si definisce anche spazio delle fasi.

• Luca Tomassini, varieta simplettiche, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
• (EN) Eric W. Weisstein, Varietà simplettica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Varietà simplettica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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