Trasformazione antilineare

In matematica si dice trasformazione antilineare, applicazione antilineare, funzione antilineare, mappa antilineare o operatore antilineare una trasformazione ${\displaystyle f:V\to W}$ da uno spazio vettoriale sui complessi in un secondo spazio dello stesso genere se:

${\displaystyle f(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )={\bar {a}}f(\mathbf {x} )+{\bar {b}}f(\mathbf {y} )\qquad \forall a,b\in \mathbb {C} \quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

dove ${\displaystyle {\bar {a}}}$ è il complesso coniugato di ${\displaystyle a}$.

Queste entità talvolta sono chiamate trasformazione coniugatolineare e trasformazione semilineare.

Se insieme alla precedente ${\displaystyle f}$ si considera una seconda trasformazione antilineare del genere ${\displaystyle g:W\to X}$ che conduce ad un terzo spazio vettoriale sui complessi ${\displaystyle X}$, la composizione di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$ è una trasformazione lineare complessa ${\displaystyle g\circ f:V\rightarrow X}$.

Una trasformazione antilineare ${\displaystyle f:V\to W}$ è equivalente ad una trasformazione lineare del genere ${\displaystyle {\bar {f}}:V\to {\bar {W}}}$ che conduce allo spazio vettoriale complesso coniugato ${\displaystyle {\bar {W}}}$.

Per un operatore antilineare la definizione di aggiunta è diversa da quella usuale:

${\displaystyle (\mathbf {x} ,f^{+}\mathbf {y} )=(f\mathbf {x} ,\mathbf {y} )^{*}=(\mathbf {y} ,f\mathbf {x} )}$

in cui l'operatore risulta correttamente antilineare in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$.

• (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
• (EN) Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Spinger-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).

• Complesso coniugato
• Forma sesquilineare

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