Transizione di Kosterlitz-Thouless

In meccanica statistica la transizione di Kosterlitz-Thouless, o anche transizione di Berezinsky-Kosterlitz-Thouless, è una transizione di fase speciale che si osserva nel modello XY per sistemi di spin interagenti in due dimensioni. È una transizione in cui i vortici hanno un ruolo determinante, al di sotto di una temperatura critica i vortici possono formarsi solo in coppie vortice-antivortice, mentre al di sopra di questa temperatura i vortici e gli antivortici non sono legati e formano configurazioni libere.

Formalmente, il modello XY è un modello di spin bidimensionale che possiede una simmetria U(1) o circolare, in cui ad ogni punto dello spazio o ad ogni nodo del reticolo è associata una variabile di tipo angolo, cioè periodica in ${\displaystyle [0,2\pi )}$. Una possibile funzione di partizione che gode di questa simmetria è:

${\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }\prod _{k}d\theta _{k}e^{{\frac {J}{k_{B}T}}\sum _{(i,j)}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})}}$

dove la sommatoria è estesa a tutti i link ${\displaystyle (i,j)}$ del reticolo. A causa del teorema di Mermin-Wagner questo sistema non ammette alcune transizione di fase del tipo ordine-disordine con associata la formazione dei bosoni di Goldstone. Tuttavia nonostante questo il sistema è caratterizzato dalla presenza di alcuni valori delle costanti di accoppiamento in cui la lunghezza di correlazione è infinita.

La transizione prende il nome dei suoi scopritori, J. Michael Kosterlitz, David J. Thouless (premiati con il premio Nobel per la fisica nel 2016), e Vadim L'vovich Berezinskiĭ (Вади́м Льво́вич Берези́нский).

Nel modello XY in due dimensioni, i vortici sono configurazioni topologicamente stabili, dato che il gruppo U(1) non è semplicemente connesso. Un vortice presente in questo sistema non può essere distrutto dalle fluttuazioni termiche o quantistiche e lo studio di queste fluttuazioni deve essere fatto invece sviluppandole intorno alle configurazioni vorticose. È stato dimostrato che nella fase ad alta temperatura, caratterizzata da una lunghezza di correlazione che decade esponenzialmente, la presenza di vortici liberi è termodinamicamente favorita. Al di sotto di una certa temperatura critica il sistema è invece caratterizzato da una correlazione che decade con una legge a potenza, determinata dalla condensazione di vortici in coppie di vorticosità opposta, analogamente a quanto accade per un gas di elettroni in uno spazio bidimensionale.

C'è un vero elegante argomento termodinamico per comprendere la transizione KT. L'energia di un singolo vortice è della forma ${\displaystyle \kappa \ln(R/a)}$, dove ${\displaystyle \kappa }$ è un parametro dipendente dal sistema in cui si sviluppa il vortice, mentre ${\displaystyle R}$ è la dimensione del sistema e ${\displaystyle a}$ è il raggio del nucleo del vortice. Si assume che ${\displaystyle R\gg a}$, cioè che il vortice sia molto più grande del suo nucleo e della scala a cui i dettagli microscopici del sistema diventano rilevanti. Il numero di possibili posizioni di ciascun vortice nel sistema è approssimativamente ${\displaystyle (R/a)^{2}}$. Per la legge di Boltzmann, l'entropia è uguale a ${\displaystyle S=2k_{B}\ln(R/a)}$, dove ${\displaystyle k_{B}}$ è la costante di Boltzmann. Quindi, l'energia libera di Helmholtz vale

${\displaystyle F=E-TS=(\kappa -2k_{B}T)\ln(R/a).}$

Quando ${\displaystyle F>0}$, il sistema non permette la formazione di vortici. Tuttavia, quando ${\displaystyle F<0}$, le condizioni sono sufficienti affinché un vortice si formi nel sistema e affinché in questo modo sia raggiunto il minimo dell'energia libera. Definiamo la temperatura della transizione come la temperatura per cui ${\displaystyle F=0}$. Quindi, la temperatura critica ${\displaystyle T_{c}}$ è

${\displaystyle T_{c}={\frac {\kappa }{2k_{B}}}.}$

I vortici si possono formare al di sopra di questa temperatura ma non al di sotto.

• H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, " SUPERFLOW AND VORTEX LINES", pp. 1–742, World Scientific (Singapore, 1989); Paperback ISBN 9971-5-0210-0 (also available online: Vol. I. Read pp. 618–688);
• H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online: here)

• J. M. Kosterlitz & D. J. Thouless, "Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems", Journal of Physics C: Solid State Physics, Vol. 6 pages 1181-1203 (1973)
• Z. Hadzibabic et al.: "Berezinskii–Kosterlitz–Thouless crossover in a trapped atomic gas", Nature 441, 1118 (2006)

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