Teorema di Brothers-Ziemer

Il teorema di Brothers-Ziemer afferma che la norma L^p del gradiente di una funzione è sempre maggiore o uguale della norma L^p del gradiente del suo riordinamento monotono decrescente. Se inoltre la misura n-1 dei punti a gradiente nullo è zero vale l'uguaglianza a meno di traslazione.

Se si indica con $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria di $\mathbb {R} ^{n}$ e con $M$ il sup-essenziale della funzione $u$ , eventualmente anche $+\infty$ , si definisce la misura dei sopralivelli per $t\in [0,M)$ come:

\mu (t)={\mathcal {H}}^{n}\left(\{x\,:\,u(x)>t\}\right)

dove ${\mathcal {H}}^{n}$ è la misura di Hausdorff n-dimensionale. Si indica con $u^{*}$ il riordinamento definito da:

u^{*}(x)=\sup \,\{t\in [0,M)\,:\,\mu (t)>\omega _{n}|x|^{n}\}

Il teorema

Siano $1\leq p<+\infty$ e $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ di $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$ . Allora vale:

\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u^{*}|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{p}d{\mathcal {H}}^{n}

Inoltre se $p>1$ e:

{\mathcal {H}}^{n}\left(\left\{x\,:\,|\nabla u(x)|=0\right\}\cap {u}^{-1}(0,M)\right)=0

e vale l'uguaglianza tra i due integrali, allora la funzione $u^{*}$ è uguale quasi ovunque a una traslata di $u$ .

Conseguenze

{\displaystyle W^{1,p}} — Funzione non simmetrica e sua riarrangiata con la stessa norma $W^{1,p}$

Il teorema di Brothers e Ziemer risulta un completamento della disuguaglianza di Pólya-Szegő. Esso afferma che il riordinamento radiale di una funzione ha norma $W^{1,p}$ minore o al più uguale della funzione stessa. In pratica se si vuole minimizzare la norma in $W^{1,p}$ è possibile cercare tale minimo tra le funzioni a simmetria radiale, avendo il riordinamento tale proprietà; potrebbero comunque esistere funzioni che non hanno simmetria radiale ma che minimizzano tale norma.

In figura è presentata una funzione non simmetrica ed il suo riordinamento radiale. È evidente in questo caso che la norma $W^{1,p}$ delle due funzioni è la stessa. L'esempio costruito presenta una funzione in cui l'insieme dei punti a gradiente nullo è positivo. Il teorema di Brothers e Ziemer, con l'ulteriore ipotesi che l'insieme in cui il gradiente è nullo abbia misura nulla, permette di concludere che le funzioni che minimizzano la norma $W^{1,p}$ sono tutte e sole quelle a simmetria radiale. Il teorema di Brothers e Ziemer risulta particolarmente comodo per stabilire il valore delle costanti ottimali nelle disuguaglianze di Sobolev.