Teorema di Bohr-Mollerup

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In analisi matematica, il teorema di Bohr-Mollerup è un teorema che prende il nome dai matematici danesi Harald Bohr e Johannes Mollerup, che lo dimostratono nel 1922. Il teorema caratterizza la funzione Gamma, definita per ${\displaystyle x>0}$ da

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$

come l'unica funzione ${\displaystyle f}$ sull'intervallo ${\displaystyle x>0}$ che, simultaneamente, possiede le seguenti tre proprietà:

• ${\displaystyle f(1)=1}$,
• ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ per ${\displaystyle x>0}$,
• ${\displaystyle f}$ è logaritmicamente convessa, ossia il suo logaritmo è una funzione convessa

Un'elegante trattazione su questo teorema può essere trovata nel libro di Artin The Gamma Function, che è stato ristampato dall'AMS (American Mathematicl Society) in una collezione di scritti di Artin.

Il teorema venne prima pubblicato in un manuale di analisi complessa, poiché Bohr e Mollerup ritenevano che fosse già stato dimostrato.

Teorema di Bohr-Mollerup. ${\displaystyle \Gamma (x)}$ è l'unica funzione che soddisfa ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ con ${\displaystyle \log {f(x)}}$ convessa ed anche con ${\displaystyle f(1)=1}$.

Sia ${\displaystyle \Gamma (x)}$ una funzione con le proprietà stabilite sopra: ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$, ${\displaystyle \log {\Gamma (x)}}$ è una funzione convessa e ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$. Da ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ noi possiamo dire che

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

Lo scopo di aver imposto che ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ è far sì che la proprietà ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ci riconduca ai fattoriali dei numeri interi, in modo da poter concludere che ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ se ${\displaystyle n\in N}$ e se ${\displaystyle \Gamma (x)}$ esiste ovunque. Grazie alla relazione scritta per ${\displaystyle \Gamma (x+n)}$, se riusciamo a comprendere completamente il comportamento di ${\displaystyle \Gamma (x)}$ per ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$, possiamo comprendere il comportamento di ${\displaystyle \Gamma (x)}$ per tutti i valori reali di ${\displaystyle x}$.

La pendenza del segmento che congiunge due punti ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}$ e ${\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))}$, indichiamola con ${\displaystyle S(x_{1},x_{2})}$, è strettamente crescente per una funzione convessa con ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$. Poiché abbiamo imposto che ${\displaystyle \log {\Gamma (x)}}$ è convessa, noi sappiamo che

${\displaystyle {\begin{aligned}S(n-1,n)&\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)&&0<x\leq 1\\[6pt]{\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n-1))}{n-(n-1)}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n+x))}{n-(n+x)}}\leq {\frac {\log(\Gamma (n))-\log(\Gamma (n+1))}{n-(n+1)}}\\[6pt]{\frac {\log((n-1)!)-\log((n-2)!)}{1}}&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq {\frac {\log(n!)-\log((n-1)!)}{1}}\\[6pt]\log \left({\frac {(n-1)!}{(n-2)!}}\right)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log \left({\frac {n!}{(n-1)!}}\right)\\[6pt]\log(n-1)&\leq {\frac {\log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)}{x}}\leq \log(n)\\x\log(n-1)&\leq \log(\Gamma (n+x))-\log((n-1)!)\leq x\log(n)\\\log \left((n-1)^{x}\right)+\log((n-1)!)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}\right)+\log((n-1)!)\\\log \left((n-1)^{x}(n-1)!\right)&\leq \log(\Gamma (n+x))\leq \log \left(n^{x}(n-1)!\right)\\(n-1)^{x}(n-1)!&\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!&&\log {\text{è strettamente crescente}}\\[6pt](n-1)^{x}(n-1)!&\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\\[6pt]{\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$

L'ultima riga è un'affermazione forte. In particolare, essa è vera per tutti i valori di ${\displaystyle n}$. Questo significa che ${\displaystyle \Gamma (x)}$ non è maggiore rispetto al membro di destra per ogni scelta di ${\displaystyle n}$ e, allo stesso modo, ${\displaystyle \Gamma (x)}$ non è minore rispetto al membro di sinistra per ogni altra scelta di ${\displaystyle n}$. Ogni singola disuguaglianza non è correlata all'altra e può essere interpretata come un'affermazione indipendente. A causa di ciò, noi siamo liberi di scegliere dei valori differenti di ${\displaystyle n}$ per il membro di destra e per il membro di sinistra. In particolare, se noi lasciamo ${\displaystyle n}$ per il membro di destra e scegliamo ${\displaystyle n+1}$ per quello di sinistra, abbiamo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

Da quest'ultima riga è evidente che si sta delimitando una funzione tra due espressioni, una tecnica comune in analisi per dimostrare varie cose come l'esistenza di un limite, o una convergenza. Sia ${\displaystyle n\to \infty }$:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

così il membro di sinistra dell'ultima disuguaglianza tende a diventare uguale al membro di destra, quando si passa al limite, e

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

rappresenta la delimitazione a entrambi i membri. Ciò può solo significare che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).}$

Nel contesto di questa dimostrazione, ciò significa che

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

possiede le tre proprietà specificate, che appartengono a ${\displaystyle \Gamma (x)}$. In più, la dimostrazione fornisce un'espressione specifica per ${\displaystyle \Gamma (x)}$. La parte finale di questa dimostrazione consiste nel ricordare che il limite di una successione è unico. Ciò significa che, per ogni scelta di ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$, un solo numero possibile ${\displaystyle \Gamma (x)}$ può esistere. Perciò, non c'è un'altra funzione con tutte le proprietà assegnate a ${\displaystyle \Gamma (x)}$.

Resta da dimostrare solo che ${\displaystyle \Gamma (x)}$ ha senso per tutti gli ${\displaystyle x}$ per i quali

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

esiste. Il problema è che la nostra prima doppia disuguaglianza

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

è stata costruita con la restrizione ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$. Se ${\displaystyle x>1}$, allora il fatto che ${\displaystyle S}$ è strettamente crescente farebbe sì che ${\displaystyle S(n+1,n)<S(n+x,n)}$, contraddicendo la disuguaglianza su cui l'intera dimostrazione è costruita. Ma osserviamo che

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

e ciò mostra come prolungare ${\displaystyle \Gamma (x)}$ a tutti i valori di ${\displaystyle x}$ per i quali il limite è definito.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bohr-Mollerup_theorem&oldid=12494 , Encyclopedia of Mathematics, Springer Science, ISBN 978-1-55608-010-4
• Emil Artin, The Gamma Function, Holt, Rinehart, Winston, 1964.
• Michael Rosen, Exposition by Emil Artin: A Selection, American Mathematical Society, 2006.
• Bohr, H. Mollerup, J., Lærebog i Kompleks Analyse vol. III, Copenhagen, 1922. (Textbook in Complex Analysis)

• Funzione Gamma
• Funzione logaritmicamente convessa

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Teorema di Bohr-Mollerup

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Bohr-Mollerup, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) proof of Bohr–Mollerup theorem, in PlanetMath.
• (EN) proof of Bohr–Mollerup theorem, in PlanetMath.

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