Teorema di Barbier

In matematica, il teorema di Barbier è un teorema di geometria euclidea, dimostrato da Joseph Emile Barbier, che afferma che le curve di larghezza costante ${\displaystyle l}$ hanno perimetro pari a ${\displaystyle \pi l}$.

L'analogo del teorema di Barbier per le superfici di larghezza costante è falso.

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Il teorema si può facilmente verificare per i due esempi più familiari di curve di larghezza costante: la circonferenza e il triangolo di Reuleaux.

Per quanto riguarda il cerchio la sua larghezza ${\displaystyle l}$ è pari al diametro ${\displaystyle d}$ ed il suo perimetro è ${\displaystyle \pi d=\pi l}$.

Un triangolo di Reuleaux di larghezza ${\displaystyle l}$ si compone di tre archi di cerchio di raggio ${\displaystyle l}$ e angolo al centro ${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$. Di conseguenza ognuno di questi archi è un sesto di circonferenza di raggio ${\displaystyle l}$ e quindi il perimetro del triangolo di Reuleaux di larghezza ${\displaystyle l}$ è pari alla metà del perimetro di un cerchio di raggio ${\displaystyle l}$ e cioè ${\displaystyle \pi l}$.

Una simile analisi con altri esempi semplici come i poligoni di Reuleaux dà la stessa risposta.

• Teorema di Barbier (Java), su cut-the-knot.org.

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