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In analisi matematica, la regola della funzione reciproca è una regola di derivazione che permette di calcolare la derivata del reciproco di una funzione derivabile.
Definizione
La derivata del reciproco di una funzione è un rapporto avente come numeratore l'opposto della derivata della funzione e come denominatore il quadrato della funzione.
dove e sono notazioni che indicano il medesimo significato di derivata.
È necessario che, nel punto in cui si calcola la derivata, la funzione non sia nulla.
Dimostrazione tramite il rapporto incrementale
Scrivendo il rapporto incrementale della funzione otteniamo:
Ora, l'argomento del primo limite è l'opposto del rapporto incrementale di
mentre il secondo fattore, per la continuità della "commuta" con l'operazione di limite, dunque si ha:
Alternativamente, utilizzando la regola della catena, ponendo possiamo determinare la derivata come:
Dimostrazione tramite la regola della catena
Posto , ricordiamo che , e quindi
Se applichiamo al secondo membro della precedente equazione la regola della catena (poiché ), otteniamo che
Dimostrazione tramite la regola del quoziente
Applicando la regola del quoziente, consideriamo e dunque
Voci correlate
- Regole di derivazione
- Regola del quoziente
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