Probabilità nel gioco del lotto

Voce principale: Lotto.

Le probabilità per le varie tipologie di vincita sono le probabilità che una determinata condizione di vittoria si verifichi nel gioco del lotto. Il gioco del lotto è detto non equo, poiché in caso di vincita non viene corrisposta una somma proporzionale al reciproco della probabilità di vittoria.^[1][2]

Nel gioco del lotto, per ognuna delle undici ruote vengono estratti 5 numeri tra l'1 e il 90 senza reimmissione (un numero estratto non viene reimmesso nell'urna).

La probabilità di estrazione di un numero singolo su una ruota è ${\displaystyle {\frac {1}{18}}}$.

Alla prima estrazione, escludendo il numero considerato, dei ${\displaystyle 90}$ numeri disponibili, ne restano ${\displaystyle 89}$; alla seconda estrazione, escludendo il numero considerato, degli ${\displaystyle 89}$ numeri disponibili considerando che quello estratto alla prima non lo è più, ne restano ${\displaystyle 88}$; alla terza estrazione, escludendo il numero considerato, degli ${\displaystyle 88}$ numeri disponibili considerando che quelli estratti alla prima e alla seconda non lo sono più, ne restano ${\displaystyle 87}$; e così via. Pertanto si ha

${\displaystyle {\text{Probabilità di non estrazione}}={\frac {89}{90}}\cdot {\frac {88}{89}}\cdot {\frac {87}{88}}\cdot {\frac {86}{87}}\cdot {\frac {85}{86}}={\frac {85}{90}}={\frac {17}{18}}}$

Ne segue che

${\displaystyle {\text{Probabilità di estrazione}}=1-{\text{Probabilità di non estrazione}}=1-{\frac {17}{18}}={\frac {1}{18}}}$

Con un procedimento analogo a quelli applicati più avanti per il caso dell'ambo, del terno e della quaterna, si trova che la probabilità di estrazione di un numero singolo su una ruota è uguale a

${\displaystyle {\frac {89 \choose 4}{90 \choose 5}}={\frac {90-1 \choose 5-1}{90 \choose 5}}={\frac {2.441.626}{43.949.268}}={\frac {1}{18}}}$

La probabilità di estrazione di un ambo su una ruota è ${\displaystyle {\frac {2}{801}}={\frac {1}{400,5}}}$.

Segue uno dei procedimenti per calcolare la probabilità, applicabile anche per il terno, la quaterna e la cinquina, nonché per un numero singolo.

La probabilità è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero totale di casi possibili.

Poiché, con il gioco del lotto, per ogni ruota vengono effettuate ${\displaystyle 5}$ estrazioni, ogni volta si realizza una cinquina. Pertanto, il numero totale di casi possibili corrisponde al numero totale di cinquine che si possono ottenere da ${\displaystyle 90}$ numeri.

Pertanto: alla prima estrazione ci sono ${\displaystyle 90}$ numeri disponibili; alla seconda, escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono ${\displaystyle 89}$; alla terza, escludendo i due numeri estratti alla prima e alla seconda estrazione, ce ne sono ${\displaystyle 88}$ e così via. Dunque, il numero di cinquine è uguale a

${\displaystyle 90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}$

Questo è il numero totale di cinquine ciascuna ordinata in un preciso modo; tuttavia, in base al regolamento del gioco del lotto, l'ordine di uscita dei numeri non è influente, ovvero due cinquine che contengono gli stessi numeri, pur con un diverso ordine di estrazione, sono considerate equivalenti. Si considerano, in pratica, le combinazioni semplici e non le disposizioni semplici che si possono ottenere con tali numeri. Pertanto, per calcolare effettivamente il numero totale di cinquine possibili (contando una sola volta per più cinquine equivalenti), è necessario dividere il numero ottenuto per il numero di permutazioni possibili con ${\displaystyle 5}$ elementi. Tale numero è ${\displaystyle 5!=120}$ (${\displaystyle 5}$ fattoriale), dunque il numero di cinquine possibili nel gioco del lotto è

${\displaystyle {\frac {90\cdot 89\cdot 88\cdot 87\cdot 86}{5!}}={\frac {5.273.912.160}{120}}=43.949.268={90 \choose 5}}$

Il numero di casi favorevoli all'uscita di un ambo è il numero di cinquine contenenti l'ambo considerato. Queste sono le cinquine che contengono i ${\displaystyle 2}$ numeri dell'ambo e altri ${\displaystyle 5-2=3}$ numeri qualunque fra tutti gli altri ${\displaystyle 90-2=88}$. Poiché ${\displaystyle 2}$ numeri sono obbligati, il numero di queste cinquine è uguale al numero di terni (insiemi di ${\displaystyle 5-2=3}$ numeri) che possono essere ottenuti da ${\displaystyle 88}$ (cioè ${\displaystyle 90-2}$) numeri.

Pertanto: alla prima estrazione vi sono ${\displaystyle 88}$ numeri disponibili; alla seconda, escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono ${\displaystyle 87}$; alla terza, escludendo i due numeri estratti alla prima e alla seconda estrazione, ce ne sono ${\displaystyle 86}$. Dunque, il numero di terni, ciascuno ordinato in un preciso modo, è uguale a

${\displaystyle 88\cdot 87\cdot 86}$

Il numero di terni possibili (contando una sola volta per più terni equivalenti), è calcolabile invece dividendo il numero ottenuto per il numero di permutazioni possibili con ${\displaystyle 3}$ elementi, considerando quindi anche in questo caso le combinazioni semplici e non le disposizioni semplici. Questo numero è ${\displaystyle 3!=6}$, dunque il reale numero di questi terni possibili, corrispondente al numero totale di cinquine contenenti l'ambo considerato, è

${\displaystyle {\frac {88\cdot 87\cdot 86}{3!}}={\frac {658.416}{6}}=109.736={88 \choose 3}={90-2 \choose 5-2}}$

Questo è il numero di casi favorevoli. La probabilità che esca l'ambo considerato è data pertanto da

${\displaystyle {\frac {88 \choose 3}{90 \choose 5}}={\frac {90-2 \choose 5-2}{90 \choose 5}}={\frac {109.736}{43.949.268}}={\frac {2}{801}}={\frac {1}{400,5}}}$

La probabilità di estrazione di un terno su una ruota è ${\displaystyle {\frac {1}{11748}}}$. Vediamo perché.

Il numero totale di casi possibili, corrispondente al numero di cinquine possibili, resta sempre lo stesso applicato per l'ambo, uguale a

${\displaystyle 43.949.268={90 \choose 5}}$

Il numero di casi favorevoli è il numero di cinquine contenenti il terno considerato. Queste sono le cinquine che contengono i ${\displaystyle 3}$ numeri del terno e altri ${\displaystyle 5-3=2}$ numeri qualunque fra tutti gli altri ${\displaystyle 90-3=87}$. Poiché ${\displaystyle 3}$ numeri sono obbligati, il numero di tali cinquine è uguale al numero di ambi (insiemi di ${\displaystyle 5-3=2}$ numeri) che possono essere ottenuti da ${\displaystyle 87}$ (cioè ${\displaystyle 90-3}$) numeri.

Pertanto: alla prima estrazione ci sono ${\displaystyle 87}$ numeri disponibili; alla seconda, escludendo il numero estratto alla prima, ce ne sono ${\displaystyle 86}$. Dunque, il numero di ambi, ciascuno ordinato in un preciso modo, è uguale a

${\displaystyle 87\cdot 86}$

Per calcolare il numero di ambi possibili contando una sola volta per più ambi equivalenti, è necessario dividere il numero ottenuto per il numero di permutazioni possibili con ${\displaystyle 2}$ elementi, in modo da considerare anche in questo caso le combinazioni semplici e non le disposizioni semplici. Questo numero è ${\displaystyle 2!=2}$,

Quindi il numero di questi ambi possibili, corrispondente al numero totale di cinquine contenenti il terno considerato, è

${\displaystyle {\frac {87\cdot 86}{2!}}={\frac {7.482}{2}}=3.741={87 \choose 2}={90-3 \choose 5-3}}$

Questo è il numero di casi favorevoli. La probabilità che esca il terno considerato è data pertanto da

${\displaystyle {\frac {87 \choose 2}{90 \choose 5}}={\frac {90-3 \choose 5-3}{90 \choose 5}}={\frac {3.741}{43.949.268}}={\frac {1}{11748}}}$

Con un procedimento analogo a quelli applicati per l'ambo e il terno, la probabilità di estrazione di una quaterna su una ruota è uguale a

${\displaystyle {\frac {86 \choose 1}{90 \choose 5}}={\frac {90-4 \choose 5-4}{90 \choose 5}}={\frac {86}{43.949.268}}={\frac {1}{511.038}}}$

Calcolando il numero totale di cinquine (secondo il metodo esposto precedentemente: ${\displaystyle 43.949.268}$), la probabilità di estrazione di una cinquina su una ruota (unica cinquina favorevole) è uguale a ${\displaystyle {\frac {1}{43.949.268}}}$.

Tale probabilità può anche essere scritta nel modo seguente:

${\displaystyle {\frac {85 \choose 0}{90 \choose 5}}={\frac {90-5 \choose 5-5}{90 \choose 5}}={\frac {1}{43.949.268}}}$

Una volta nota la probabilità ${\displaystyle P}$ di estrazione su una ruota di un numero singolo, o di un ambo, o di un terno, o di una quaterna, o di una cinquina, per ottenere la probabilità di estrazione dello stesso (o della stessa) su più ruote insieme, intendendo come favorevoli i casi in cui esso esce su almeno una di queste ruote, si può procedere nel modo seguente:

indicando con ${\displaystyle N}$ il numero di ruote su cui si gioca e considerando che le estrazioni su ciascuna di esse sono indipendenti le une dalle altre, la probabilità di non estrazione su nessuna delle N ruote è data da

${\displaystyle {\text{Probabilità di non estrazione}}=(1-P)^{N}}$

Pertanto, la probabilità di estrazione su almeno una delle N ruote è uguale a

${\displaystyle {\text{Probabilità di estrazione}}=1-(1-P)^{N}}$

Per esempio, se viene giocato un numero singolo, per il quale, come visto in precedenza, ${\displaystyle P={\frac {1}{18}}}$, su ${\displaystyle 3}$ ruote, la probabilità di estrazione di tale numero su almeno una di esse è uguale a

${\displaystyle 1-\left(1-{\frac {1}{18}}\right)^{3}=1-\left({\frac {17}{18}}\right)^{3}=1-{\frac {4.913}{5.832}}={\frac {919}{5.832}}={\frac {1}{6,346.028....}}}$

In base al regolamento del gioco del lotto, un giocatore che indovini un numero singolo su una ruota riceve una vincita lorda pari a ${\displaystyle 11,23}$ volte la sua puntata. Visto che la probabilità di estrazione di un numero singolo su una ruota vale ${\displaystyle {\frac {1}{18}}}$, il giocatore dovrebbe ricevere una vincita pari a ${\displaystyle 18}$ volte la puntata. Riceve invece una vincita lorda ${\displaystyle {\frac {18}{11,23}}=1,6}$ volte inferiore.

Per quanto riguarda l'ambo, a fronte di una probabilità di estrazione su una ruota di ${\displaystyle {\frac {1}{400,5}}}$, la vincita lorda è pari a ${\displaystyle 250}$ volte la puntata, anch'essa inferiore di ${\displaystyle {\frac {400,5}{250}}=1,6}$ volte rispetto alla vincita in condizione di equità.

Per quanto riguarda il terno, a fronte di una probabilità di estrazione su una ruota di ${\displaystyle {\frac {1}{11.748}}}$, la vincita lorda è pari a ${\displaystyle 4.500}$ volte la puntata, pertanto è inferiore di ${\displaystyle {\frac {11.748}{4.500}}=2,61}$ volte rispetto alla vincita in condizione di equità.

Per la quaterna, la vincita è di ${\displaystyle {\frac {511.038}{120.000}}=4,26}$ volte inferiore rispetto alla vincita in condizione di equità.

Per la cinquina, poi, è di ${\displaystyle {\frac {43.949.268}{6.000.000}}=7,32}$ volte inferiore.

In base al regolamento, se si gioca su ${\displaystyle N}$ ruote, la vincita viene divisa per ${\displaystyle N}$, come se la probabilità aumentasse di ${\displaystyle N}$ volte. Per la probabilità di vincita giocando su più ruote si può tuttavia dimostrare la disuguaglianza

${\displaystyle 1-(1-P)^{N}\leqslant N\cdot P}$

La probabilità di estrarre i 6 numeri giocati è dato dalla operazione ${\displaystyle {\frac {k!(n-k)!}{n!}}}$ dove ${\displaystyle n=90}$ (numero di numeri estraibili) e ${\displaystyle k=6}$ (numero di numeri estratti). "${\displaystyle !}$" è il simbolo di fattoriale che, posto dopo un numero naturale ${\displaystyle m}$, produce come risultato il prodotto di ${\displaystyle m}$ per tutti i naturali positivi suoi predecessori (esempio: ${\displaystyle 5!=5*4*3*2*1}$).

Il calcolo diviene dunque ${\displaystyle {\frac {6!(90-6)!}{90!}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{622.614.630}}}$

• Sergio Frasca, Laboratorio di meccanica, Nuova Cultura, 2009. ISBN 9788861342804. Pagg. 70-71

• Probabilità
• Calcolo combinatorio
• Permutazione
• Disposizione
• Combinazione
• Fattoriale
• Coefficiente binomiale
• Gioco equo

• Riccardo Bersani, Il rendimento dei giochi d'azzardo, Treccani, 2006
• Il Calcolo Combinatorio applicato al Lotto e al Superenalotto - Università di Bergamo Archiviato il 19 marzo 2015 in Internet Archive.

V · D · M Probabilità
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