In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.
Funzioni generatrici
La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è
.
La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece
![{\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa25590684cc771bf5c76a81b16195a57f8aff0a)
I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come:
![{\displaystyle B_{n}(x):={D \over e^{D}-1}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03acdbd298b53ac89c2f1d2184084099cdc55b23)
dove
denota la differenziazione rispetto alla
e la frazione va sviluppata come serie formale di potenze.
Allo stesso modo, i polinomi di Eulero sono dati da:
![{\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904d78933ebc61aa2260156e726c53c663fbca7d)
Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente:
![{\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c975ba4c30fbfcb6511fa4a623be8dfb7cb3422)
Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha
![{\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e1dc86b06870858be68991bea7db89417d9c23)
dove
denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di Bernoulli ai valori non interi della
Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da:
![{\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b48342a4bf6295b5cabc7ad310b2e76058a7b8)
I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero
I numeri di Bernoulli sono dati da
A loro volta i numeri di Eulero sono dati da
Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori
I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:
![{\displaystyle B_{0}(x)=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd892d1cb9e2a30d0bc535f29933273bbde71aea)
![{\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b167949fcacf840c2e55da13aafb3d87d3d03ed)
![{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d09bfa1d0af9bb99ab3c3d7eafedd97a3617d5)
![{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96abb33987fe1a4822f651823c5b486103930624)
![{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5ad7e9a6e93a1fa62fab47afd63b40e9749d8f)
![{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9934367597c15ddce89a134d053c2ed1abcd5244)
![{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ac83f1d07c119242c8be3e2fedbcf032ffa9c2)
I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono:
![{\displaystyle E_{0}(x)=1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f59213f7f98c27bccd40f1c5cc7081b461c553a)
![{\displaystyle E_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf7c43065485ccd7093c3b720f75ba62c8fbeb9)
![{\displaystyle E_{2}(x)=x^{2}-x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f816b43498100297704f8ace3e4b7ed2dda9a7)
![{\displaystyle E_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b202d10c2cf8954396ab13880feaa27cc90ff2)
![{\displaystyle E_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b224c8c92cb1b36233ede56807b3d3811b65c7)
![{\displaystyle E_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ccb6b914c01541147517cdf7ee623b594f3feb)
![{\displaystyle E_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d8699267ae722cb7e052521d653be68a6cc871)
Differenze
I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:
![{\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ff31b4be2e48833593dac6cbee2952b278dcab)
![{\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff2e4459b14f19b8de864d68adb50d24f37d702)
Derivate
Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una sequenza di Appel:
![{\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824f642ee0be6dd65666b9ac11c5c45f8fb1f1bc)
![{\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1974c9ce24e7edce1f61caa6610319116ac9c8d5)
Traslazioni
![{\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72ae973acf554fafe35b48e4f2ccc9ad34193fa0)
![{\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7bae18b4f02eb9396a50788986a5f0af9aadc8c)
Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste successioni polinomiali è una sequenza di Appel. Un altro esempio di queste successioni è fornito dai polinomi di Hermite.
Simmetrie
![{\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9503c0e6b7b5571f740dae061b22acc7a4294b28)
![{\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942ac08e46b6aa036089fc21ff4b96fd30e9ea23)
![{\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa50d6b90c6b31cea98c6c450f7f2cbaeddb5c2c)
![{\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4479ba2844e13bece803a84475cce3cb5cc0f6)
Serie di Fourier
La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di funzione zeta di Hurwitz
![{\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb78b326402204e66fa919f87f77d7f6c0592fd)
Inversione
Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di Bernoulli. Specificamente si ha
![{\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fe8d94d375eac2f3d82089987e54d776481edd)
Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della variabile e dai polinomi di Bernoulli.
Collegamento con i fattoriali decrescenti
Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come combinazioni lineari di fattoriali decrescenti
dalle
![{\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de701c2fff5231b0786b9989b26511aa510963db)
dove
e
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217d89600e22c227df273f7d7c3d0b43e4d6797d)
denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:
![{\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f540b30ecc9cb8160932fd1cba093f8fc6dc4568)
dove
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a86615f2217e1bcb2401407be4f1261e8da424)
denota il numero di Stirling di prima specie.
Teoremi di moltiplicazione
Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joseph Ludwig Raabe nel 1851:
![{\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46ec80462fd4dc3417cd22c37e949fe36dbd228f)
![{\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=1,3,\ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dbeafed7bf316c406af9e6859128db32dda8ad)
![{\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right),\quad {\text{per }}m=2,4,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73fc5cf6099f4d5be882b81c86173cbdef4f1292)
Integrali
Integrali indefiniti
![{\displaystyle \int _{a}^{x}dt\;B_{n}(t)={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a98860d2907b5e996dacebbaeeac237db1ad1df)
![{\displaystyle \int _{a}^{x}dt\;E_{n}(t)={\frac {E_{n+1}(x)-E_{n+1}(a)}{n+1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5499c16666056329153a5006e510ff6fda81821e)
Integrali definiti
![{\displaystyle \int _{0}^{1}dt\;B_{n}(t)B_{m}(t)=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m},\quad {\text{per }}m,n\geq 1;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bbf9f37e3a9574b07376a461c9f90b59e3b647e)
![{\displaystyle \int _{0}^{1}dt\;E_{n}(t)E_{m}(t)=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121e92e65b0dc3cdf5e4cc6c0a1453b47c5f6583)
Bibliografia
- Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23)
- Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)
- Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent[collegamento interrotto] (2005) (Rassegna della relazione tra funzione zeta di Hurwitz e funzione trascendente di Lerch.)
Voci correlate
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