Operatore lineare chiuso
In matematica, e più specificatamente in analisi funzionale, gli operatori lineari chiusi sono un'importante classe di operatore lineari su uno spazio di Banach. Essi sono più generali degli operatori lineari limitati, e quindi non sono necessariamente continui, ma hanno lo stesso proprietà interessanti per definire lo spettro e (sotto certe assunzioni) un calcolo funzionale per tali operatori. Molti operatori lineari importanti che non sono limitati sono chiusi, come l'operatore derivata e la grande classe degli operatori differenziali, per esempio in meccanica quantistica l'operatore momento e l'operatore posizione.
Definizione
Sia uno spazio di Banach. Un operatore lineare:
è detto chiuso se per ogni successione in convergente a tale che:
si ha che e che:
In modo equivalente, è chiuso se il suo grafico è chiuso in .[1]
Dato un operatore , se la chiusura del suo grafico in è il grafico di un qualche operatore allora è la chiusura di , e è detto chiudibile. è quindi chiudibile se è la restrizione di un operatore chiuso al dominio di .
Proprietà
- Per il teorema del grafico chiuso, ogni operatore chiuso definito su tutto lo spazio è limitato.
- Se è chiuso allora è chiuso, dove è uno scalare e l'identità.
- Se è chiuso, allora il suo nucleo è un sottospazio chiuso di .
- Se è chiuso e iniettivo, allora il suo inverso è chiuso.
- Un operatore ammette una chiusura se e solo se per ogni coppia di successioni e in convergenti a e tali che sia che convergono, si ha:
Note
- ^ Reed, Simon, Pag. 250.
Bibliografia
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
Voci correlate
- Operatore lineare continuo
- Operatore limitato
- Spazio di Banach
- Spettro (matematica)
- Teorema del grafico chiuso
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Operatore lineare chiuso, su MathWorld, Wolfram Research.
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