Numero bizzarro

In matematica, un numero bizzarro è un numero naturale abbondante ma non semiperfetto,[1] ovvero n è bizzarro se la somma dei suoi divisori (escluso il numero stesso) è maggiore di n ma non esiste nessun sottoinsieme di questi divisori la cui somma è n.

Il più piccolo numero bizzarro è 70; un esempio di numero abbondante ma non bizzarro è 12, i cui divisori propri sono 1, 2, 3, 4 e 6 (che sommati danno 16) ma 2+4+6=12.

I primi numeri bizzarri sono 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ...[2] È stato dimostrato che esistono infiniti numeri bizzarri, e che la sequenza di questi numeri ha una densità asintotica positiva.[3]

Non è noto se esistano numeri bizzarri dispari; se ne esistono, devono essere maggiori di 10 17 {\displaystyle 10^{17}} .

Stanley Kravitz ha dimostrato che se k è un intero positivo e Q un numero primo tali che

R = 2 k Q − ( Q + 1 ) ( Q + 1 ) − 2 k {\displaystyle R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}}

è primo, allora

n = 2 k − 1 Q R {\displaystyle n=2^{k-1}QR}

è un numero bizzarro.[4] Con questa formula, trovò il numero bizzarro

n = 2 56 ( 2 61 − 1 ) 153722867280912929 ≈ 2 ⋅ 10 52 {\displaystyle n=2^{56}(2^{61}-1)153722867280912929\approx 2\cdot 10^{52}}

che per decenni rimase il numero bizzarro primitivo più grande conosciuto. Attualmente il record[5] è

n = 2 5898 ( 2 5900 − 4529 ) ( 2 5900 + 4171 ) {\displaystyle n=2^{5898}(2^{5900}-4529)(2^{5900}+4171)}

un numero di 5328 cifre.

Note

  1. ^ Stan Benkoski, E2308 (in Problems and Solutions), in The American Mathematical Monthly, vol. 79, n. 7, agosto-settembre 1972, p. 774.
  2. ^ (EN) Sequenza A006037, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ Stan Benkoski, Paul Erdős, On Weird and Pseudoperfect Numbers, in Mathematics of Computation, vol. 28, n. 126, aprile 1974, pp. 617-623.
  4. ^ Stanley Kravitz, A search for large weird numbers, in Journal of Recreational Mathematics, vol. 9, n. 2, Baywood Publishin, 1976, pp. 82-85.
  5. ^ Giuseppe Melfi, On the conditional infiniteness of primitive weird numbers, in Journal of Number Theory, vol. 147, Elsevier, 2014, pp. 508-514.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Numero bizzarro, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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