La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.
Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero,
.
Regole
Si definiscono le seguenti regole, per
:
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n});}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf12ffb8bfc13a00cceabd6f43857e0cacfa5ea)
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee713ce195771020f2c585ebff9bb2c14a19d0f3)
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9e0a6143839cd0c87eb97666140331cb7745bfb)
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\alpha _{2}!\ldots \alpha _{n}!;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec2cc4cd766ad8a187d2ba899ef0fad13c3a734)
![{\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d05d10d88764f05c457a3f0d1d6b09df95b8ae9d)
![{\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6ffccfbbcac088c06478053101d2a540f0c55f)
dove
. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione ![{\displaystyle \partial ^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d33ed6eaa54bdf3fd7e21c47adac8c246eec8364)
Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:
Sviluppo multinomiale
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6329503ce85e9dafb2f372affdf051b0e26ddab2)
Se u, v sono differenziabili, allora
![{\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc2294c2477ed01dae9eed122657c7cefbbdde1)
Serie di Taylor
Se f è analitica, allora
![{\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c5707d1778f8fbf8e4dadfb87d161dc186836b)
Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come
![{\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148255a17f9fb655d93678c51774509602b71a41)
Integrazione parziale
Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato
si ha che
![{\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deefac5cc11165da5c50f4325efa0f7175efedf3)
Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.
Teorema
- Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e
allora
![{\displaystyle \partial ^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\text{se }}i\leq k,\\0&{\text{altrimenti.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fcec39e767515c2f2fa7a4615892db8fe29716)
- Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...
![{\displaystyle {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\text{se }}i\leq k,\\0&{\text{altrimenti.}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ab202d9d9a2d699600d3d8a6857219d77fef9d)
Se supponiamo
,
, allora abbiamo che
![{\displaystyle \partial ^{i}x^{k}={\frac {\partial ^{\vert i\vert }}{\partial x_{1}^{i_{1}}\cdots \partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}={\frac {\partial ^{i_{1}}}{\partial x_{1}^{i_{1}}}}x_{1}^{k_{1}}\cdots {\frac {\partial ^{i_{n}}}{\partial x_{n}^{i_{n}}}}x_{n}^{k_{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210cf54ce8005b0010f1794121e6237a513ae36d)
in quanto per ogni r=1,...,n la funzione
dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale
si riduce alla derivazione ordinaria
. Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che
si annulla se
per qualche r=1,...,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione,
nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,...,n viene
e dunque la tesi del teorema.
Collegamenti esterni
- (EN) Multi-index derivative of a power su PlanetMath
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