Misura di Radon

In matematica, una misura di Radon è una misura definita sulla sigma-algebra di uno spazio topologico di Hausdorff che è localmente finita e internamente regolare.

Un problema comune nell'ambito della teoria della misura è quello di trovare una nozione di misura compatibile con la topologia dello spazio topologico in questione. Solitamente per ottenere ciò si definisce una misura sulla sigma-algebra dei boreliani dello spazio, ma questo implica spesso il manifestarsi di alcune difficoltà, come il fatto che la misura può non avere un supporto ben definito. Un approccio alternativo è quello di restringersi a spazi topologici di Hausdorff localmente compatti, e considerare soltanto le misure che corrispondono a funzionali lineari positivi definiti su uno spazio di funzioni continue a supporto compatto. Alcuni autori utilizzano questo caso per la definizione di misura di Radon. In generale, se non vi sono restrizioni a misure non negative e complesse, allora le misure di Radon possono essere definite come costituenti il duale continuo dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto.

Sia ${\displaystyle m}$ una misura sulla σ-algebra formata dagli insiemi di Borel di uno spazio topologico di Hausdorff ${\displaystyle X}$. La misura ${\displaystyle m}$ è una misura di Radon se, per ogni insieme di Borel ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle m(B)}$ è l'estremo superiore dei valori assunti da ${\displaystyle m(K)}$ rispetto a tutti i sottoinsiemi compatti ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle B}$ (cioè si tratta di una misura internamente regolare) e per ogni punto di ${\displaystyle X}$ esiste un intorno ${\displaystyle U}$ tale per cui ${\displaystyle m(U)}$ è una misura finita, ovvero è una misura localmente finita.

Si definisce spazio di Radon uno spazio metrico separabile ${\displaystyle (M,d)}$ tale per cui ogni misura di probabilità di Borel su ${\displaystyle M}$ è internamente regolare. Dal momento che una misura di probabilità è una misura localmente finita, ogni misura di probabilità su uno spazio di Radon è anche una misura di Radon.

Quando lo spazio di misura è uno spazio topologico localmente compatto la definizione di misura di Radon può essere espressa per mezzo dei funzionali lineari continui sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto. Questo rende possibile sviluppare la teoria della misura e dell'integrazione anche nell'ambito dell'analisi funzionale, in cui si notano somiglianze con la definizione del concetto di distribuzione.

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico localmente compatto. Le funzioni continue a valori reali che hanno supporto compatto definite su ${\displaystyle X}$ formano uno spazio vettoriale ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)=C_{C}(X)}$, in cui si può definire naturalmente una topologia localmente convessa. Infatti, lo spazio ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ è l'unione degli spazi ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,K)}$ composti da funzioni continue il cui supporto è contenuto in compatti ${\displaystyle K}$. Ognuno degli spazi ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,K)}$ è uno spazio di Banach equipaggiato con la topologia della convergenza uniforme, ma in quanto unione di spazi topologici è un caso particolare di limite diretto di spazi topologici, e pertanto assume la topologia del limite diretto indotta dagli spazi ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,K)}$.

Se ${\displaystyle m}$ è una misura di Radon su ${\displaystyle X}$, la mappa:

${\displaystyle I:f\mapsto \int f\,dm}$

è una trasformazione lineare continua e positiva dallo spazio ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Il fatto che sia positiva significa che l'integrale ${\displaystyle I(f)\geq 0}$ quando ${\displaystyle f}$ è non-negativa, mentre la continuità è intesa rispetto alla topologia del limite diretto, che è equivalente a dire che per ogni sottoinsieme compatto ${\displaystyle K}$ di ${\displaystyle X}$ esiste una costante ${\displaystyle M_{K}}$ tale che per ogni funzione continua a valori reali ${\displaystyle f}$ definita su ${\displaystyle X}$ con supporto contenuto in ${\displaystyle K}$ si verifica:

${\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|}$

Viceversa, per il teorema di Riesz-Markov, ogni funzionale lineare positivo su ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$ può essere definito per mezzo di un'integrazione rispetto alla misura di Radon, ed è quindi un funzionale continuo.

Si definisce inoltre misura di Radon a valori reali un qualsiasi funzionale lineare continuo su ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$, cioè appartenente al duale di ${\displaystyle {\mathcal {K}}(X)}$. Una misura di Radon a valori reali non è necessariamente una misura con segno.

Per completare la caratterizzazione della teoria della misura per spazi localmente compatti da un punto di vista analitico si devono estendere la misura e l'integrazione per funzioni che non sono continue e aventi supporto compatto. Questo è possibile, in vari passaggi, per le funzioni a valori reali o complessi:

• inizialmente si definisce l'integrale superiore ${\displaystyle \mu ^{*}(g)}$ (ovvero il sup del valore dell'integrale ${\displaystyle \mu }$ con estremo di integrazione superiore variabile) per funzioni inferiormente semicontinue ${\displaystyle g}$ a partire dalle funzioni a supporto compatto ${\displaystyle h\leq g}$ come l'estremo superiore dei numeri positivi ${\displaystyle \mu (h)}$;
• quindi si definisce l'integrale superiore ${\displaystyle \mu ^{*}(f)}$ per funzioni positive reali ${\displaystyle f\leq g}$ come l'estremo inferiore degli integrali superiori ${\displaystyle \mu ^{*}(g)}$;
• si definiscono successivamente lo spazio vettoriale ${\displaystyle F(X,\mu )}$ delle funzioni ${\displaystyle f}$ su ${\displaystyle X}$ il cui valore assoluto ha integrale superiore ${\displaystyle \mu ^{*}(|f|)}$ finito, e tale integrale definisce una seminorma sullo spazio, che risulta completo rispetto alla topologia indotta dalla seminorma.
• Si procede poi con la definizione dello spazio vettoriale ${\displaystyle L^{1}(X,\mu )}$ delle funzioni integrabili come la chiusura in ${\displaystyle F}$ dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto, e dunque con l'introduzione (tramite estensione per continuità) dell'operatore integrale. La misura di un insieme è quindi definita attraverso l'integrale (se esiste) della funzione indicatrice dell'insieme stesso.

Tramite questa procedura si ottiene una teoria identica a quella che definisce le misure di Radon come funzioni che assegnano un numero agli insiemi di Borel dello spazio ${\displaystyle X}$.

Sono misure di Radon:

• La misura di Lebesgue su uno spazio euclideo (ristretta ai sottoinsiemi di Borel).
• La misura di Haar su ogni gruppo topologico localmente compatto.
• La misura di Dirac su ogni spazio topologico.
• La misura gaussiana su uno spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con la sigma-algebra di Borel.

• (EN) L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, "Functions of bounded variations and free discontinuity problems". Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. MR1857292Zbl 0957.49001
• (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration , Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
• (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Basel, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.

• Funzionale lineare
• Funzione a supporto compatto
• Funzione continua
• Misura (matematica)
• Misura regolare
• Misura localmente finita
• Spazio di Hausdorff
• Spazio localmente compatto

• Radon, misura di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Misura di Radon, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) R.A. Minlos, Radon measure, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Radon measure, in PlanetMath.

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