Metrica indotta

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In matematica e in fisica teorica, la metrica indotta è il tensore metrico definito su di una sottovarietà che è calcolato a partire dal tensore metrico definito su una varietà più ampia in cui la sottovarietà è immersa.

La metrica indotta può essere calcolata usando la seguente formula:

${\displaystyle g_{ab}=\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }g_{\mu \nu }(X^{\alpha })\ }$

Dove ${\displaystyle a,b\ }$ sono gli indicati delle coordinate ${\displaystyle \xi ^{a}\ }$ della sottovarietà, mentre le funzioni ${\displaystyle X^{\mu }(\xi ^{a})\ }$ delle coordinate ${\displaystyle \xi ^{a}\ }$ identificano la superficie dello spazio tangente in una varietà con più dimensioni descritta dalle coordinate ${\displaystyle \mu ,\nu \ }$.

Si osservi che si è usata la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti nelle sommatorie.

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, un tensore metrico è un campo tensoriale che caratterizza la geometria di una varietà. Tramite il tensore metrico è possibile definire le nozioni di distanza, angolo, lunghezza di una curva, geodetica, curvatura.

Un tensore metrico è un campo tensoriale ${\displaystyle g}$ definito su una varietà differenziabile, di tipo ${\displaystyle (2,0)}$, simmetrico e non degenere in ogni punto.

Il tensore definisce quindi in ogni punto un prodotto scalare non degenere fra i vettori dello spazio tangente nel punto.

Un tensore è indicato in coordinate come ${\displaystyle g_{ij}}$. Per ogni punto ${\displaystyle x}$ della varietà, fissato una carta locale, il tensore in ${\displaystyle x}$ è rappresentato quindi da una matrice simmetrica ${\displaystyle g_{ij}(x)}$ con determinante diverso da zero. Come tutti i campi tensoriali, la matrice cambia in modo differenziabile al variare di ${\displaystyle x}$ all'interno della carta.

Poiché il determinante non si annulla mai, la segnatura della matrice ${\displaystyle g_{ij}(x)}$ è la stessa per ogni ${\displaystyle x}$ se la varietà è connessa.

Se la segnatura è di tipo ${\displaystyle (n,0)}$, cioè se il prodotto scalare è ovunque definito positivo, il tensore induce una metrica sulla varietà, che è quindi chiamata varietà riemanniana. Se il tensore non è definito positivo, la varietà è detta pseudo-riemanniana.

Le varietà riemanniane sono le più studiate in geometria differenziale. Localmente, una varietà riemanniana è simile ad uno spazio euclideo, benché possa essere globalmente molto differente. D'altro canto, lo spaziotempo nella relatività generale è descritto come una particolare varietà pseudoriemanniana, con segnatura ${\displaystyle (1,3)}$. Una tale varietà è localmente simile allo spaziotempo di Minkowski.

Sia ${\displaystyle X}$ una varietà differenziabile in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Il tensore metrico euclideo induce un tensore metrico su ${\displaystyle X}$: si tratta dello stesso prodotto scalare, ristretto in ogni punto di ${\displaystyle X}$ al sottospazio dei vettori tangenti a ${\displaystyle X}$. Poiché il tensore euclideo è definito positivo, lo è anche il tensore indotto, e quindi ogni varietà immersa in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ha una struttura di varietà riemanniana.

Ad esempio, il tensore indotto sulla sfera, scritto in coordinate sferiche ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$, è dato da

${\displaystyle g=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{array}}\right]}$

e può essere riassunto nella forma

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Lo spaziotempo di Minkowski è lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ dotato del tensore

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\ }$

che può essere riassunto nella forma

${\displaystyle ds^{2}=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.}$

La costante ${\displaystyle c}$ è la velocità della luce.

Al tensore metrico ${\displaystyle g_{ij}}$ è associato un analogo tensore di tipo ${\displaystyle (0,2)}$, denotato con la stessa lettera ma con gli indici in alto ${\displaystyle g^{ij}}$. Il tensore è definito in coordinate come la matrice inversa di ${\displaystyle g_{ij}}$ (questa definizione non dipende dalla scelta delle coordinate; in alcuni contesti si effettua anche la trasposta). Questo tensore è detto a volte tensore metrico coniugato. La relazione fra i due tensori può essere scritta nel modo seguente:

${\displaystyle g_{\nu \mu }g^{\mu \gamma }=\delta _{\nu }^{\gamma }}$

scritta con la notazione di Einstein, dove il tensore ${\displaystyle \delta }$ è la delta di Kronecker definita da

${\displaystyle \delta _{\nu }^{\gamma }={\begin{cases}1&\mathrm {se} \ \nu =\gamma \\0&\mathrm {altrimenti} \end{cases}}}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Innalzamento e abbassamento degli indici.

Un tensore metrico, oltre ad introdurre concetti geometrici come lunghezze e angoli, permette di semplificare alcune notazioni e strutture. Tramite il tensore è possibile identificare gli spazi tangente e cotangente di una varietà.

Più in generale, il tensore metrico può essere utilizzato per "abbassare" o "alzare" gli indici a piacimento in un tensore, trasformando ad esempio vettori in covettori e viceversa. Questo viene fatto contraendo opportunamente con i tensori ${\displaystyle g_{ij}}$ e ${\displaystyle g^{ij}}$. Ad esempio, un vettore ${\displaystyle A^{\mu }}$ viene trasformato in un covettore

${\displaystyle A_{\nu }=g_{\nu \mu }A^{\mu }.}$

Alternativamente,

${\displaystyle A^{\mu }=g^{\mu \gamma }A_{\gamma }.}$

• Tensore metrico
• Tensore
• Spazio metrico
• Varietà riemanniana

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