Disambiguazione – Se stai cercando la trasposta della matrice dei cofattori, vedi matrice dei cofattori. In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.
Definizione
Data una matrice
, indicando con
la sua trasposta e con l'asterisco
l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata
è data da:
![{\displaystyle A^{\dagger }=(A^{T})^{*}=(A^{*})^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0007a7f0f2fdf60b15e9f18336d678c3a0b6fc)
In termini degli elementi vale la relazione:
![{\displaystyle (A^{\dagger })_{jk}=A_{kj}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a5ae3a91f6ec706ace3509b130490f7c242cbb)
cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:
![{\displaystyle A_{kj}^{*}=A_{jk}^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24c76997a1fbb32f1c25caa519accce440cb460d)
Ad esempio:
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+9i&2+i\\7-6i&1-3i\end{pmatrix}}\qquad A^{\dagger }={\begin{pmatrix}3-9i&7+6i\\2-i&1+3i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe24a09665223c894c99dc5c9cb440303fafd777)
Proprietà
Valgono le seguenti proprietà:
![{\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A\qquad \left(A+B\right)^{\dagger }=A^{\dagger }+B^{\dagger }\qquad \left(cA\right)^{\dagger }=c^{*}\cdot A^{\dagger }\qquad \left(A\cdot B\right)^{\dagger }=B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863a9017264cbe7f34249e0717d8278206dae508)
e in generale:
![{\displaystyle \left(A\cdot B\cdot C\cdot D...\right)^{\dagger }=...D^{\dagger }\cdot C^{\dagger }\cdot B^{\dagger }\cdot A^{\dagger }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1755bb63260450dc698119e83ea37ae81d33b447)
Dalle precedenti proprietà si può ricavare
;
infatti
![{\displaystyle A^{\dagger }\left(A^{\dagger }\right)^{-1}=I_{n}=I_{n}^{\dagger }=\left(A^{-1}A\right)^{\dagger }=A^{\dagger }\left(A^{-1}\right)^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c23ecd0ce3213ff7c0f28f1f8f8d5e1fdb5bcb)
L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.
Denotando con
il prodotto hermitiano standard fra vettori di
:
![{\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle u,A^{\dagger }v\rangle \qquad \langle u,Av\rangle ^{*}=\langle v,A^{\dagger }u\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e66ce288ea0828afb0e58ab6db96025601181cb)
Matrici hermitiane
Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice hermitiana. Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano
![{\displaystyle \phi (u,v)=(u,Av)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d317245ffdeb7e638442b3e67ebceae30766a2f6)
Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:
![{\displaystyle (u,Au)=(u,Au)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4142b6daac576c3c0644c1321f8fd49306a5d9f2)
è reale.
Ogni matrice quadrata complessa
può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\dagger }\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\dagger }\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7c2a87066ad777ba358a4601efa7ec351dba23)
Bibliografia
- (EN) F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
- (EN) B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Matrice trasposta coniugata, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) T.S. Pogolkina, Adjoint matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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