Limite insiemistico

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In matematica, il limite di una successione di insiemi, ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$, è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi ${\displaystyle A_{n}}$ e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.

Una successione di insiemi ${\displaystyle (A_{n})_{n}}$ viene detta monotona se è:

• crescente (si indica con ${\displaystyle A_{n}\uparrow }$), ovvero se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\subseteq A_{n+1}}$;
• decrescente (si indica con ${\displaystyle A_{n}\downarrow }$), ovvero se ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :A_{n}\supseteq A_{n+1}}$.

In una successione crescente, fissato un n si ha:

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}$

Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}$

ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli: ${\displaystyle A_{n}\uparrow A}$.

In una successione decrescente, fissato un n si ha:

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}$

Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}$

ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli: ${\displaystyle A_{n}\downarrow A}$.

In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:

• limite inferiore:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{i=n}^{\infty }}A_{i}\right)}$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi ${\displaystyle A_{i}}$ a partire da un indice ${\displaystyle n}$ in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n-1}}$, che sono in numero finito);

• limite superiore:

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}$

l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni ${\displaystyle \cup _{i=n}^{\infty }A_{i}}$; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi ${\displaystyle n}$, esiste almeno un indice ${\displaystyle j\geq n}$ tale che l'elemento appartenga ad un insieme ${\displaystyle A_{j}}$ e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.

La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}$

Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}$

Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\{x:\lim _{n\to \infty }\chi _{A_{n}}(x)=1\}}$

• Lemma di Borel-Cantelli

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