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In matematica, il limite di una successione di insiemi,
, è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi
e che sono esclusi al più da un numero finito di essi.
Successioni monotone
Una successione di insiemi
viene detta monotona se è:
- crescente (si indica con
), ovvero se
; - decrescente (si indica con
), ovvero se
.
In una successione crescente, fissato un n si ha:
![{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a63aa00712fe1168ed8cb388d879580429f978)
Il limite di una successione crescente per n tendente all'infinito è definito da:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e4abf737690f56cec37ca11748f6f2d564f555a)
ed è quindi l'insieme che contiene gli elementi appartenenti a tutti gli insiemi da un certo indice in poi. In simboli:
.
In una successione decrescente, fissato un n si ha:
![{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d6864acd3890a558be1b43dc4199ecc9e86ea3a)
Il limite di una successione decrescente per n tendente all'infinito è definito da:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}=\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c18e3f20701ef665ec9e8096b325da5a25b8386)
ed è l'insieme che contiene gli elementi contenuti in tutti gli insiemi. In simboli:
.
Successioni qualsiasi
In generale, data una qualsiasi successione di insiemi, si definiscono:
![{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{i=n}^{\infty }}A_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f43eb5ac4920818d113595863ede1e5aa274ae3)
- l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutti gli insiemi
a partire da un indice
in poi (non quelli che appartengono solo agli insiemi
, che sono in numero finito);
![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa645bfb4aab967f52f3d926bd908aca3729d40d)
- l'insieme che contiene gli elementi che appartengono a tutte le unioni
; in altri termini, un elemento appartiene al limite superiore se, per qualsiasi
, esiste almeno un indice
tale che l'elemento appartenga ad un insieme
e, perché ciò si verifichi, è sufficiente che l'elemento appartenga ad infiniti insiemi della successione.
La definizione del limite inferiore è più restrittiva e si ha quindi sempre:
![{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ecf338ea769006e0900a925af68fc1a0eb40b)
Se il limite inferiore e quello superiore coincidono, la successione è detta convergente ed il suo limite è:
![{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c98327be21b754bd284be60512330bd73b097e7)
Usando la notazione della funzione indicatrice, si può anche dire che l'insieme limite è definito come:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\{x:\lim _{n\to \infty }\chi _{A_{n}}(x)=1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a7fa567c17a2d6e0bbdfbdeccdb03b25735508)
Voci correlate
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