Integrale di Grassman

In fisica matematica, un integrale di Grassman (o un integrale di Berezin) è un modo per definire l'integrazione per funzioni di variabili di Grassmann. Esso non è un integrale nel senso di Lebesgue: si chiama integrazione, perché ha proprietà analoghe e dato che è usato in fisica come una somma "sul cammino" di fermioni, come un'estensione dell'integrazione sul cammino. La tecnica è stata inventata dal fisico David John Candlin nel 1956^[1], ma a volte prende il nome dal matematico russo Felix Berezin, che l'ha incluso in un trattato nel suo libro di testo^[2].

L'integrale di Berezin è definito come un funzionale lineare, ovvero^[3]:

${\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta }$

dove noi definiamo:

${\displaystyle \int \theta \,d\theta =1}$ ;

${\displaystyle \int \,d\theta =0}$ ;

così che:

${\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}$

Queste proprietà definiscono l'integrale in modo univoco.

${\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a.}$

Questa è la funzione più generale, perché ogni funzione omogenea di una variabile Grassmann è costante o è lineare.

In Fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità ${\displaystyle \theta _{i}}$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann , ma commuta con i numeri ordinari ${\displaystyle x_{j}}$,

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x_{j}=x_{j}\theta _{i}.}$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=0.}$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da n numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione 2ⁿ. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se n=3, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$

${\displaystyle \theta _{1}\theta _{2},\theta _{2}\theta _{3},\theta _{3}\theta _{1}}$

${\displaystyle \theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}}$

che insieme all'unità 1, formano uno spazio 2³=8-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann ${\displaystyle \theta _{1}}$ e ${\displaystyle \theta _{2}}$. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici 4×4 :

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

In generale, una algebra di Grassmann con n generatori può venire rappresentata da 2ⁿ × 2ⁿ matrici quadrate. Fisicamente queste matrici possono venir pensate come operatori di creazione agenti su uno spazio di Hilbert di n fermioni nella base del numero di occupazione. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o 0 o 1, ci sono 2ⁿ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti", oltre a definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

• Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN 3-7186-5199-8
• D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.
• A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)

• Algebra di Grassmann
• Bereziniano
• Numeri di Grassmann
• Superspazio

• (EN) D.J. Candlin, On Sums over Trajactories for Systems With Fermi Statistics, in Nuovo Cimento, vol. 4, 1956, p. 224, DOI:10.1007/BF02745446.

• (EN) Introducing supersymmetry^{[collegamento interrotto]}, M. F. Sohnius, 1985.

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