Ideale frazionario
In matematica, gli ideali frazionari sono generalizzazioni degli ideali di un anello usati nello studio dei domini d'integrità; possono essere pensati come ideali a cui è permesso avere un denominatore comune. In questo contesto, gli ideali propri dell'anello sono a volte detti ideali interi.
Definizione ed esempi
Sia A un dominio e K il suo campo dei quozienti. Un ideale frazionario di A è un sotto-A-modulo I di K per cui esiste un elemento non nullo d in A tale che .
L'insieme , essendo un sottomodulo di A, è un ideale di A; gli ideali frazionari possono quindi essere anche definiti come i , dove d è un elemento di A e J un ideale proprio di A. Questo vuol dire che I è formato dagli elementi nella forma , dove j è un elemento di J; in questo senso, quindi, gli ideali frazionari possono essere considerati come ideali (propri) di A "con un denominatore". In particolare, gli ideali frazionari di A contenuti in A sono precisamente gli ideali propri di A.
Tutti i sottomoduli di K finitamente generati sono ideali frazionari, ma questo non è vero per moduli non finitamente generati: ad esempio K stesso è un A-modulo ma non è mai un ideale frazionario di A (a meno che A coincida con K). Usando la corrispondenza con gli ideali propri di A, si vede che gli ideali frazionari coincidono con i sottomoduli di K finitamente generati se e solo se A è noetheriano.
Come per gli ideali propri, un ideale frazionario dalla forma xA, per un , è detto principale.
Operazioni e invertibilità
Essendo sottomoduli di uno stesso modulo (K), tra gli ideali frazionari di A possono essere effettuate varie operazioni: tra queste l'intersezione , la somma , il prodotto e la "divisione" . Questi non solo sono sotto-A-moduli di K, ma sono anche ideali frazionari.
Dotato del prodotto, l'insieme degli ideali frazionari non nulli è un monoide con elemento neutro A, ma generalmente non è un gruppo: questo avviene se e solo se A è un dominio di Dedekind. Gli elementi invertibili di questo monoide sono detti ideali invertibili: in altre parole, un ideale invertibile è un ideale frazionario I tale che esiste un ideale frazionario J tale che ; se questo avviene, J deve coincidere con . Gli ideali invertibili possono essere caratterizzati attraverso le localizzazioni di A: I è invertibile se e solo se è finitamente generato e è principale per ogni ideale massimale M. In particolare, negli anelli locali (così come negli anelli semilocali, ovvero con un numero finito di ideali massimali) un ideale frazionario è invertibile se e solo se è principale.
L'insieme degli ideali frazionari invertibili è un gruppo rispetto al prodotto, indicato con Inv(A), e comprende come sottogruppo l'insieme degli ideali principali P(A).
Nel caso in cui A sia un dominio di Dedekind, gli ideali frazionari si comportano in modo particolarmente buono. In questo caso, infatti, tutti gli ideali sono invertibili, e il quoziente (detto gruppo delle classi di A) dà informazioni sulle proprietà di fattorizzazione di A: ad esempio, il gruppo delle classi è banale se e solo se A è un dominio a fattorizzazione unica.
Bibliografia
- (EN) Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5.
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