Gruppo del cubo di Rubik

Il gruppo del cubo di Rubik è un gruppo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ costituito dalle mosse del cubo di Rubik. Ogni elemento dell'insieme ${\displaystyle G}$ corrisponde ad una mossa, che può essere una qualsiasi sequenza di rotazioni delle facce del cubo. Questi elementi ci permettono di rappresentare ogni configurazione del cubo, specificando le mosse necessarie per ottenerla a partire da quella iniziale (convenientemente quella in cui il cubo viene considerato risolto). Infatti, scelta la configurazione iniziale, c'è una corrispondenza biunivoca tra ogni configurazione possibile del cubo e gli elementi dell'insieme ${\displaystyle G}$.^[1][2] L'operazione binaria ${\displaystyle \cdot }$ è la composizione delle mosse del cubo: una composizione di mosse corrisponde ad una sequenza di mosse effettuate una dopo l'altra.

Il gruppo del cubo di Rubik si realizza assegnando a ciascuno dei 48 quadratini, esclusi i centri, un numero intero da 1 a 48. Ogni configurazione del cubo può essere rappresentata come una permutazione dei numeri da 1 a 48, in base alla posizione di ciascun quadratino. Usando questa rappresentazione, la permutazione identità è quella che lascia il cubo invariato, mentre le dodici mosse che consistono in una rotazione di 90 gradi di ciascun strato sono rappresentate dalle rispettive permutazioni. Il gruppo del cubo di Rubik è un sottogruppo del gruppo simmetrico ${\displaystyle S_{48}}$ generato dalle sei permutazioni corrispondenti alle sei rotazioni in senso orario. Quindi ogni configurazione realizzabile attraverso una sequenza di mosse appartiene al gruppo. Il gruppo del cubo di Rubik è un gruppo non abeliano in quanto la composizione delle mosse non è commutativa; eseguire due sequenze di mosse in ordine differente può portare a configurazioni finali diverse.

Un cubo di Rubik ${\displaystyle 3\times 3\times 3}$ consiste di ${\displaystyle 6}$ facce, ognuna con ${\displaystyle 9}$ quadrati colorati, per un totale di ${\displaystyle 54}$ quadrati. Un cubo risolto ha ogni quadrato su ciascuna faccia dello stesso colore.

Una mossa consiste in una rotazione di una delle ${\displaystyle 6}$ facce: ${\displaystyle 90^{\circ },180^{\circ }}$ o ${\displaystyle -90^{\circ }}$. Il quadrato centrale di ciascuna faccia del cubo ruota attorno al proprio asse (ad esso perpendicolare e passante per il centro) rimanendo quindi nella stessa posizione.^[1]

Le mosse sono di seguito descritte con la notazione di Singmaster:^[3]

90°	180°	-90°
${\displaystyle F}$ Rotazione in senso orario della faccia frontale	${\displaystyle F^{2}}$ Doppia rotazione in senso orario della faccia frontale	${\displaystyle F^{\prime }}$ Rotazione in senso antiorario della faccia frontale
${\displaystyle B}$ rotazione in senso orario della faccia posteriore	${\displaystyle B^{2}}$ doppia rotazione in senso orario della faccia posteriore	${\displaystyle B^{\prime }}$ rotazione in senso antiorario della faccia posteriore
${\displaystyle U}$ rotazione in senso orario della faccia superiore	${\displaystyle U^{2}}$ doppia rotazione in senso orario della faccia superiore	${\displaystyle U^{\prime }}$ rotazione in senso antiorario della faccia superiore
${\displaystyle D}$ rotazione in senso orario della faccia inferiore	${\displaystyle D^{2}}$ doppia rotazione in senso orario della faccia inferiore	${\displaystyle D^{\prime }}$ rotazione in senso antiorario della faccia inferiore
${\displaystyle L}$ rotazione in senso orario della faccia sinistra	${\displaystyle L^{2}}$ doppia rotazione in senso orario della faccia sinistra	${\displaystyle L^{\prime }}$ rotazione in senso antiorario della faccia sinistra
${\displaystyle R}$ rotazione in senso orario della faccia destra	${\displaystyle R^{2}}$ doppia rotazione in senso orario della faccia destra	${\displaystyle R^{\prime }}$ rotazione in senso antiorario della faccia destra

L'orientazione dei quadrati centrali è fissa. Possiamo identificare ciascuna delle sei rotazioni come elementi di un gruppo simmetrico. In pratica numeriamo i quadrati, esclusi quelli centrali, da 1 a 48, e identifichiamo le sei rotazioni delle facce come elementi del gruppo simmetrico S₄₈ in base alle configurazioni che ciascuna mossa fa assumere ai quadrati. Il gruppo del cubo di Rubik G è quindi definito come il sottogruppo generato dalle 6 rotazioni, ${\displaystyle \{F,B,U,D,L,R\}}$.

La cardinalità di G è data da

${\displaystyle |G|=43{.}252{.}003{.}274{.}489{.}856{.}000\,\!=2^{27}3^{14}5^{3}7^{2}11}$.^[4]

Nonostante abbia una cardinalità così grande, nessuna configurazione richiederà mai un numero di rotazioni superiore a 20 per ottenere la risoluzione^[5] (dove una rotazione di 180 gradi conta come una singola mossa, ma se viene contata come due rotazioni di 90 gradi, allora tale numero è 26^[6]).

Il più grande ordine di un elemento in G è 1260. Per esempio un elemento di ordine 1260 è

${\displaystyle (RU^{2}D^{\prime }BD^{\prime })}$.^[1]

G è un gruppo non-abeliano. Ciò vuol dire che non tutte le mosse del cubo commutano tra loro;^[2] per esempio, ${\displaystyle FR}$ è diverso da ${\displaystyle RF}$.

Consideriamo due sottogruppi di G: il sottogruppo C_o delle orientazioni, ovvero le mosse che consistono nel ruotare l'intero cubo, lasciando quindi invariate le posizioni reciproche tra i cubetti. Questo è un sottogruppo normale di G. Può essere rappresentato come la chiusura normale delle mosse che invertono degli spigoli oppure che ruotano gli angoli.

Per esempio, è la chiusura normale delle seguenti mosse:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},\,\!}$ (ruota due angoli)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },\,\!}$ (inverte due spigoli).

Il secondo sottogruppo ${\displaystyle C_{P}}$ è quello delle permutazioni, ovvero i movimenti che consentono di cambiare la posizione dei cubetti, ma lasciano invariata l'orientazione del cubo:

${\displaystyle C_{p}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].\,\!}$

Dal momento che C_o è un sottogruppo normale e l'intersezione di C_o e C_p è l'identità e il loro prodotto è il gruppo G, segue che G è il prodotto semidiretto di questi due gruppi. Ovvero

${\displaystyle G=C_{o}\rtimes C_{p}.\,}$

La struttura di C_o è

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11},\ }$

dato che il gruppo della rotazione di ogni angolo è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}$, mentre per gli spigoli è ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$, ma solo sette degli otto angoli possono essere ruotati in modo indipendente, perché la disposizione dell'ultimo angolo dipenderà dalla posizione degli altri.

Il sottogruppo delle permutazioni, C_p, è un po' più complicato. Esso contiene i seguenti due sottogruppi normali disgiunti: il gruppo delle permutazioni pari degli angoli A₈ e il gruppo delle permutazioni pari degli spigoli A₁₂. Complementare a questi due sottogruppi è una permutazione che scambia due angoli e due spigoli. Questi generano tutte le possibili permutazioni, ovvero

${\displaystyle C_{p}=(A_{8}\times A_{12})\,\rtimes \mathbb {Z} _{2}.}$

Abbiamo che G è isomorfo a

${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}^{7}\times \mathbb {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((A_{8}\times A_{12})\rtimes \mathbb {Z} _{2}).}$

Questo gruppo può essere descritto anche come il seguente prodotto semidiretto

${\displaystyle [(\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}}$

utilizzando la notazione di Griess^{[senza fonte]}.

Se prendiamo in considerazione le simmetrie dei quadrati centrali il gruppo simmetrico è un sottogruppo di

${\displaystyle [\mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

Se ammettiamo di poter disassemblare il cubo e ricomporlo a piacimento, il gruppo di simmetria del cubo di Rubik è il prodotto diretto

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}^{6}\times (\mathbb {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

Il primo fattore tiene conto soltanto delle rotazioni dei pezzi centrali, il secondo soltanto delle simmetrie degli angoli e il terzo soltanto delle simmetrie degli spigoli, ${\displaystyle \wr }$ indica il prodotto intrecciato.

• Commutatore
• Permutazione
• Classe di coniugio
• Classe laterale
• Cubo di Rubik
• Gruppo risolubile

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul gruppo del cubo di Rubik

• Soluzione semplice e dettagliata del cubo di Rubik.pdf (PDF), su commons.wikimedia.org.

V · D · M Cubo di Rubik
Inventore	Ernő Rubik
Cubi di Rubik	2×2×2 (Pocket Cube) · 3×3×3 (Cubo di Rubik) · 4×4×4 (Rubik's Revenge) · 5×5×5 (Professor's Cube) · 6×6×6 (V-Cube 6) · 7×7×7 (V-Cube 7) · 8×8×8 (V-Cube 8) · 9×9×9 (V-Cube 9) · 10×10×10 (V-Cube 10) · 11×11×11 (V-Cube 11)
Twisty puzzle	Cubici Cubo calendario · Dino Cube · Evil Twin · Fisher Cube · Fused Cube · Helicopter Cube · Lattice Cube · Maze Cube · Mirror Cube · Sudokube · Skewb · Master Skewb · Square-1 · Super Square-1 · Void Cube Tetraedrici Pyramorphix · Mastermorphix · Pyraminx · Halpern-Meier Pyramid · Master Pyraminx · BrainTwist Ottaedrici Skewb Diamond · Face Turning Octahedron · Corner Turning Octahedron · Ottaedro di Trajber Dodecadrici Kilominx · Megaminx · Gigaminx · Teraminx · Petaminx · Alexander's Star · Skewb Ultimate · Pyraminx Crystal Icosaedrici Impossiball · Dogic · Icosaminx Altri Floppy Cube · Super Floppy Cube · Mental Block · Slim Tower · Domino Cube · 3×3×4 · 3×3×5
Derivati	Rubik's Magic · Rubik's Master Magic · Rubik's Snake · Rubik's Triamid · Rubik's Revolution · Rubik's Clock · Rubik's 360
Derivati a più dimensioni	Magic 4D Cube · Magic 5D Cube · Magic 120-cell
Detentori di WR	10 Max Park 4 Tommy Cherry 3 Stanley Chapel 2 Zayn Khanani · Leandro Martín López 1 Yiheng Wang · Guanbo Wang · Sebastiano Tronto · Cale Schoon · Jayden McNeill · Patrick Ponce · Elijah Brown · Ezra Shere · Carter Kucala · Ryan Pilat · Max Siauw · Hill Pong Yong Feng · Graham Siggins
Campioni del mondo	Max Park (2023) · Philipp Weyer (2019) · Max Park (2017) · Feliks Zemdegs (2015) · Feliks Zemdegs (2013) · Michał Pleskowicz (2011) · Breandan Vallance (2009) · Yu Nakajima (2007) · Jean Pons (2005) · Dan Knights (2003) · Minh Thai (1982)
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Risoluzione	Speedcubing · One handed · Blindfolded · Fewest moves · Algoritmo di Dio
Metodi risolutivi	Metodo a strati · Metodo Roux · Metodo Corners First · Metodo Petrus · CFOP · Metodo ZB
Matematica	Gruppo del cubo di Rubik
Organizzazione mondiale	World Cube Association
Timer ufficiale	StackMat Timer

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