Grande icosidodecaedro retrocamuso

Grande icosidodecaedro retrocamuso
TipoPoliedro stellato uniforme
Forma facce20+60 triangoli
12 pentagrammi
Nº facce92
Nº spigoli150
Nº vertici60
Caratteristica di Eulero2
Incidenza dei vertici(34.5/2)/2
Notazione di Wythoff| 2 3/2 5/2
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeGrande esacontaedro pentagrammico
ProprietàNon convessità
Politopi correlati
Figura al vertice
Poliedro duale
Manuale

In geometria, il grande icosidodecaedro retrocamuso è un poliedro stellato uniforme avente 92 facce - 80 triangolari e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.[1]

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del grande icosidodecaedro retrocamuso, spesso indicato con il simbolo U74 e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\,\pm 2\alpha ,\,\pm 2,\,\pm 2\beta \,\right)}
( ± ( α − β φ − φ − 1 ) , ± ( α φ − 1 + β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 − 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi -\varphi ^{-1}),\,\pm (\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1)\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 + 1 ) , ± ( − α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β + φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1),\,\pm (-\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta +\varphi )\,\right)}
( ± ( α φ − β φ − 1 − 1 ) , ± ( α + β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 + β − φ ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}-1),\,\pm (\alpha +\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}+\beta -\varphi )\,\right)}
( ± ( α − β φ + φ − 1 ) , ± ( − α φ − 1 − β − φ ) , ± ( − α φ − β φ − 1 + 1 ) ) {\displaystyle \left(\,\pm (\alpha -\beta \varphi +\varphi ^{-1}),\,\pm (-\alpha \varphi ^{-1}-\beta -\varphi ),\,\pm (-\alpha \varphi -\beta \varphi ^{-1}+1)\,\right)}

con un numero pari di segni più, dove φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} è la sezione aurea, ξ ≈ 0 , 3264046 {\displaystyle \xi \approx 0,3264046} è la più piccola radice positiva dell'equazione ξ 3 − 2 ξ = − 1 φ ⟹ ξ = ( 1 + i 3 ) 1 2 φ + 1 4 φ 2 − 8 27 3 + ( 1 − i 3 ) 1 2 φ − 1 4 φ 2 − 8 27 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\varphi }}\quad \implies \quad \xi &={\frac {\left(1+i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}+{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}+\left(1-i{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2\varphi }}-{\sqrt {{\frac {1}{4\varphi ^{2}}}-{\frac {8}{27}}}}}}}{2}}\\[4pt]\end{aligned}}}

e

α = ξ − 1 ξ , β = − ξ φ + 1 φ 2 − 1 ξ φ . {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\xi -{\frac {1}{\xi }},\\[4pt]\beta &=-{\frac {\xi }{\varphi }}+{\frac {1}{\varphi ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \varphi }}.\end{aligned}}}

Poliedri correlati

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, il suo circumraggio è pari a R = 1 2 2 − x 1 − x = 0 , 580002 … {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0,580002\dots } dove x {\displaystyle x} è la radice dell'equazione

x 3 + 2 x 2 = ( 1 ± 5 2 ) 2 . {\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}.}

Le quattro radici positive dell'equazione in R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , 4096 R 12 − 27648 R 10 + 47104 R 8 − 35776 R 6 + 13872 R 4 − 2696 R 2 + 209 = 0 {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0} sono, in ordine, i circumraggi del grande icosidodecaedro retrocamuso (U74), del grande icosidodecaedro camuso (U57), del grande icosidodecaedro camuso invertito (U69) e del dodecaedro camuso (U29).

Grande esacontaedro pentagrammico

Grande esacontaedro pentagrammico
TipoPoliedro stellato
Forma faccePentagrammi irregolari
Nº facce60
Nº spigoli150
Nº vertici92
Caratteristica di Eulero2
Gruppo di simmetriaI, [5,3]+, 532
DualeGrande icosidodecaedro retrocamuso
Manuale

Il grande esacontaedro pentagrammico è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del grande icosidodecaedro retrocamuso, avente per facce 60 pentagrammi irregolari.[2]

Dato un grande icosidodecaedro retrocamuso di spigolo pari a 1, immaginando il grande esacontaedro pentagrammico come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagramma irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero ξ ≈ 0 , 946 730 033 56 {\displaystyle \xi \approx 0,946\,730\,033\,56} - maggior radice positiva del polinomio P = 8 x 3 − 8 x 2 + ϕ − 2 {\displaystyle P=8x^{3}-8x^{2}+\phi ^{-2}} - ogni faccia risulta avere quattro angoli uguali di ampiezza pari a arccos ⁡ ( ξ ) ≈ 18 , 785 633 958 24 ∘ {\displaystyle \arccos(\xi )\approx 18,785\,633\,958\,24^{\circ }} e uno angolo di ampiezza pari a arccos ⁡ ( − ϕ − 1 + ϕ − 2 ξ ) ≈ 104 , 857 464 167 03 ∘ {\displaystyle \arccos(-\phi ^{-1}+\phi ^{-2}\xi )\approx 104,857\,464\,167\,03^{\circ }} , con tre lati lunghi e due corti le cui lunghezze stanno in un rapporto pari a 2 − 4 ξ 2 1 − 2 ξ ≈ 1 , 774 215 864 94 {\displaystyle {\frac {2-4\xi ^{2}}{1-2\xi }}\approx 1,774\,215\,864\,94}

Note

  1. ^ Roman Maeder, 74: great retrosnub icosidodecahedron, su Mathconsult. URL consultato il 24 marzo 2024.
  2. ^ Magnus J. Wenninger, Dual Models, Cambridge University Press, 2004, pp. 128. URL consultato il 20 marzo 2024.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Grande icosidodecaedro retrocamuso, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  • (EN) Eric W. Weisstein, Grande esacontaedro pentagrammico, in MathWorld, Wolfram Research. URL consultato il 20 marzo 2024.
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