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In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:
![{\displaystyle \psi _{0}(x):={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8c67aff26d1725fc464e1ab452af3171d3cb94d)
La funzione digamma talora viene anche denotata con
e talora anche
. Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza
![{\displaystyle \psi _{0}(n)=H_{n-1}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6868ed0d55a3f070e1acc9eaa5b2fb44d89b42)
dove
denota l'
-esimo numero armonico e
è la ben nota costante di Eulero-Mascheroni. Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma
![{\displaystyle \Gamma \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!n^{s}}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)\ldots \left(s+n\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30b772a3cd1897b4b07eb0ef3f41c61284744d8)
da cui
![{\displaystyle \psi \left(s\right)={\frac {d}{ds}}\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n!+s\ln n-\ln s-\ln \left(s+1\right)-\ln \left(s+2\right)-\ldots -\ln \left(s+n\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b422727b7e39385e71a1a306ce938ed50bd844eb)
![{\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-{\frac {1}{s}}-{\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}-\ldots -{\frac {1}{s+n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f68f5ddc6b88e06e857a490413a0d343480ae2)
![{\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{s+n}\left({\frac {1}{k}}\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95d6c41055a67bd8333df445e3f2783f0058abd2)
![{\displaystyle \psi \left(s\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\ln n-\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{k}}\right)\right)+1+{\frac {1}{2}}+\ldots +{\frac {1}{s-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9905beeee73f2dfdc0b109102e67f00b0e02497c)
![{\displaystyle \psi \left(s\right)=-\gamma +H_{s-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0144f56623f3d2a1a9bbbc69416e44b0271d8c9a)
Invece, se l'argomento della funzione digamma non è un numero intero positivo, ma è un generico numero complesso
, si dimostra che
![{\displaystyle \psi _{0}(z)=\psi \left(z\right)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c0ae39119e949ff55571015ef1947f29fd8dcd9)
Bibliografia
- (DE) N. Nielsen Handbuch der Theorie der Gammafunktion (Teubner, 1906) p. 15
- (EN) T. M. MacRobert Functions of a Complex Variable (McMillan, 1917) p. 161
- (EN) M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (US Governement Printing Office, 1964) p. 258
Voci correlate
Altri progetti
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Funzione digamma
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Funzione digamma, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- Polygamma function in functions.wolfram.com
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